Question

|向量a|=2,|向量b|=3,a与b的夹角为60°，若a+λb与λa+b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围

Answer 1

∵a+λb与λa+b的夹角为锐角
∴（a+λb)(λa+b)>0
λa²+ab+λ²ab+λb²>0
4λ+ab+λ²ab+9λ>0
又a=2,b=3,a与b的夹角为60°
∴ab=2×3×cos60°=3
∴4λ+3+3λ²+9λ>0
∴3λ²+13λ+3>0
解得λ>(-13+√133)/6或λ<(-13-√133)/6
下面还需要去掉共线的情况：
向量a+λb与λa+b共线时，对应的系数比相等，
所以1/λ=1/λ，λ=±1.
λ=1时，同向共线，夹角为0°，不是锐角，应舍去。
λ=-1时，反向共线，夹角为180°.
综上可知：λ>(-13+√133)/6或λ<(-13-√133)/6，且λ≠1。