Question

在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD,底面ABCD为正方形，PD=DC,E,F分别AB,

PB的中点。 (1)求证：EF//平面PAD;(2)求证：EF垂直于CD;(3)若G是线段AD上一动点，试确定G的位置，使GF垂直于平面PCB,并证明你的结论。

Answer 1

（1）在三角形PAB中，E,F分别AB，PB的中点，所以EF//PA，所以EF//平面PAD。
（2）因为ABCD是正方形，所以AD垂直DC，又PD垂直于底面ABCD，所以AD是PA在平面ABCD内的投影，由三垂线定理，得PA垂直CD，由第一问EF//PA，所以EF垂直于CD。
（3）G点是AD的中点。下面证明：
取PC的中点为H，连接FH，GF，FH//BC//GD,且，GD=FH，所以，GFHD为平行四边形。
PD=DC,所以DH垂直PC，BC垂直于平面PDC，所以DH垂直于BC，所以DH垂直于平面PDC。
所以GF垂直于平面PCB