Question

正方形ABCD，点E是BC中点，角AEF是90度，EF交外角平分线CF于F，求证AE=EF

Answer 1

这个题目分两步走还是不太难的。

第一步：证明两个三角形相似

从点F作FG垂直于BC的延长线交于G点；

在直角三角形ABE和EGF中：

　∵∠AEB+∠EAB=90°

　　∠AEB+∠GEF=90°

　∴∠EAB＝∠GEF

　∴直角三角形ABE和EGF相似

又∵E是BC的中点，AB=BC

　∴AB=2BE

　∴EG=2FG    （1）

第二步：只要两个相似三角形有一条边相等，那么其它边也相等（即全等三角形）

 ∵FG垂直于BG，CF是正方形外角平分线(∠FCG=45)

 ∴三角形CGF是等腰直角三角形

 ∴GC=FG       （2）

由（1）－（2）得：EC=FG

从而得出：FG=BE

 ∴相似三角形的另对应的两条边相等，即：

   AE=EF

前面是分析，后面结论有点简化，你补充一下。也可在理解的基础上用其它步骤。

Answer 2

证明：
取AB的中点O
连接EO
则△BOE是等腰直角三角形
∴∠BOE=45°
∵CF是外角平分线
∴∠ECF=∠AOE=135°
∵AE⊥EF，∠B=90°
可得∠EAO=∠CEF
∵AO=CE
∴△AOE≌△ECF
∴AE=EF

Answer 3

证明：取AB的中点H，连接EH；
∵ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠EAH+∠AEB=90°，
∠FEC+∠AEB=90°
∴∠EAH=∠FEC，
∵BH=BE，∠BHE=45°，
且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；

Answer 4

作FG垂直BC交延长线
易证ABE相似于FEG，则有AB比BE等于EG比GF等于2比1，
因为GF等于CG，则有GF等于CG等于EC等于BE，
再得EG等于AB（都等于两倍BE）
易得ABE全等于FEG
得证

另一种方法
取AB中点G，连接EG，
角AGE等于角ECF等于135度
角FEC等于角BAE，AG等于EC
易得AGE全等于FEC
得证

Answer 5

上面的 证明方法 非常好