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第一个问题：
∵弧AC＝弧CD，∴AC＝CD，又OA＝OC＝OD＝4，∴△OAC≌△ODC，∴∠AOC＝∠DOC，
∴∠POD＝2∠AOC。
∵PB＝OB、BC⊥AO，∴PC＝OC＝4，∴∠OPD＝∠AOC。
显然有：∠OPD＋∠POD＋∠PDO＝180°，
∴∠OPD＋∠AOC＋∠DOC＋（180°－∠DOC）/2＝180°，
∴3∠OPD＋90°－∠OPD/2＝180°， ∴（5/2）∠OPD＝90°， ∴∠OPD＝36°，
∴∠POD＝2∠AOC＝72°、 ∠PDO＝（180°－∠DOC）/2＝（180°－36°）/2＝72°。
∵∠OPD＝∠COD＝36°、∠D＝∠D， ∴△OPD∽△COD， ∴PD/OD＝OD/CD，
∴（PC＋CD）/4＝4/CD， ∴（4＋CD）/4＝4/CD， ∴4CD＋CD^2＝16，
∴CD^2＋4CD＋4＝20， ∴（CD＋2）^2＝20， ∴CD＋2＝2√5， ∴CD＝2√5－2。
第二个问题：
延长PO交⊙O于G。
显然有：PG＝PA＋AE＝x＋8、PD＝PC＋CD＝4＋y。
由切割线定理，有：PC×PD＝PA×PG， ∴4（4＋y）＝x（x＋8）， ∴16＋4y＝x^2＋8x，
∴4y＝x^2＋8x－16， ∴y＝（1/4）x^2＋2x－4。
很明显，点P必须在OB的延长线上，∴x＝PA＞0。
同时，要确保点B在OA内，∴PA＜OA＝4。
于是：满足条件的函数式是y＝（1/4）x^2＋2x－4。自变量x的取值范围是（0，4）。
第三个问题：原题的相关数据出错了，可能是将FD＝√5－1写成了FD＝1。
由第一个问题的叙述过程，有：△OAC≌△ODC，∴∠OAC＝∠ODC，∴∠PAC＝∠FDE。
∵BC⊥AO，∴∠ACB＝90°－∠OAC＝90°－∠ODC。······①
∵OD＝OC、OE＝DE，∴OE⊥PE，且∠COE＝∠DOE＝90°－∠ODC。······②
由①、②，得：∠ACB＝∠COE。······③
∵OE⊥CO、OB⊥CB，∴O、B、C、E共圆，∴∠CBE＝∠COE。······④
由③、④，得：∠ACB＝∠CBE，∴AC∥BF，∴∠PAC＝∠PBE。
由∠PAC＝∠FDE、∠PAC＝∠PBE，得：∠FDE＝∠PBE，又∠FED＝∠PEB，
∴△FDE∽△PBE，∴FD/DE＝PB/BE。
∵PE⊥OE、PB＝BO，∴BE＝PB，∴PB/BE＝1，∴FD/DE＝PB/BE＝1，∴DE＝FD＝1，
∴CE＝DE＝1，∴PE＝PC＋CE＝4＋1＝5。
由勾股定理，有：OE＝√（OD^2－DE^2）＝√（16－1）＝√15。
∴由锐角三角函数定义，得：tan∠P＝OE/PE＝√15/5。
然而，这个答案却是错误的！
∵AC∥BE，∴△PAC∽△PBE，∴PA/PB＝AC/BE，而PE＝PB，∴PA＝BC＝DC＝2，
∴PO＝PA＋OA＝2＋4＝6。
由PO＝6、PE＝5、OE＝√15、PE⊥OE，有：PO^2＝PE^2＋OE^2，
∴36＝25＋15＝40。
这自然是错误的！
注：当E为CD的中点时，FD不可能为1。 反之，当FD＝1时，E不可能是CD的中点。
∵弧AC＝弧CD，∴AC＝CD，又OA＝OC＝OD＝4，∴△OAC≌△ODC，∴∠AOC＝∠DOC，
∴∠POD＝2∠AOC。
∵PB＝OB、BC⊥AO，∴PC＝OC＝4，∴∠OPD＝∠AOC。
显然有：∠OPD＋∠POD＋∠PDO＝180°，
∴∠OPD＋∠AOC＋∠DOC＋（180°－∠DOC）/2＝180°，
∴3∠OPD＋90°－∠OPD/2＝180°， ∴（5/2）∠OPD＝90°， ∴∠OPD＝36°，
∴∠POD＝2∠AOC＝72°、 ∠PDO＝（180°－∠DOC）/2＝（180°－36°）/2＝72°。
∵∠OPD＝∠COD＝36°、∠D＝∠D， ∴△OPD∽△COD， ∴PD/OD＝OD/CD，
∴（PC＋CD）/4＝4/CD， ∴（4＋CD）/4＝4/CD， ∴4CD＋CD^2＝16，
∴CD^2＋4CD＋4＝20， ∴（CD＋2）^2＝20， ∴CD＋2＝2√5， ∴CD＝2√5－2。
第二个问题：
延长PO交⊙O于G。
显然有：PG＝PA＋AE＝x＋8、PD＝PC＋CD＝4＋y。
由切割线定理，有：PC×PD＝PA×PG， ∴4（4＋y）＝x（x＋8）， ∴16＋4y＝x^2＋8x，
∴4y＝x^2＋8x－16， ∴y＝（1/4）x^2＋2x－4。
很明显，点P必须在OB的延长线上，∴x＝PA＞0。
同时，要确保点B在OA内，∴PA＜OA＝4。
于是：满足条件的函数式是y＝（1/4）x^2＋2x－4。自变量x的取值范围是（0，4）。
第三个问题：原题的相关数据出错了，可能是将FD＝√5－1写成了FD＝1。
由第一个问题的叙述过程，有：△OAC≌△ODC，∴∠OAC＝∠ODC，∴∠PAC＝∠FDE。
∵BC⊥AO，∴∠ACB＝90°－∠OAC＝90°－∠ODC。······①
∵OD＝OC、OE＝DE，∴OE⊥PE，且∠COE＝∠DOE＝90°－∠ODC。······②
由①、②，得：∠ACB＝∠COE。······③
∵OE⊥CO、OB⊥CB，∴O、B、C、E共圆，∴∠CBE＝∠COE。······④
由③、④，得：∠ACB＝∠CBE，∴AC∥BF，∴∠PAC＝∠PBE。
由∠PAC＝∠FDE、∠PAC＝∠PBE，得：∠FDE＝∠PBE，又∠FED＝∠PEB，
∴△FDE∽△PBE，∴FD/DE＝PB/BE。
∵PE⊥OE、PB＝BO，∴BE＝PB，∴PB/BE＝1，∴FD/DE＝PB/BE＝1，∴DE＝FD＝1，
∴CE＝DE＝1，∴PE＝PC＋CE＝4＋1＝5。
由勾股定理，有：OE＝√（OD^2－DE^2）＝√（16－1）＝√15。
∴由锐角三角函数定义，得：tan∠P＝OE/PE＝√15/5。
然而，这个答案却是错误的！
∵AC∥BE，∴△PAC∽△PBE，∴PA/PB＝AC/BE，而PE＝PB，∴PA＝BC＝DC＝2，
∴PO＝PA＋OA＝2＋4＝6。
由PO＝6、PE＝5、OE＝√15、PE⊥OE，有：PO^2＝PE^2＋OE^2，
∴36＝25＋15＝40。
这自然是错误的！
注：当E为CD的中点时，FD不可能为1。 反之，当FD＝1时，E不可能是CD的中点。
更多追问追答
追问
上题的切割线定理能不能用别的办法替代？
追答
切割线定理是通过相似三角形对应线段成比例证明得到的。
∵B、C、D、G共圆，∴∠PAC＝∠PDG、∠PCA＝∠PGD，
∴△PAC∽△PDG，∴PA/PD＝PC/PG，∴PC×PD＝PA×PG。
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