Question

已知a,b,c是△ABC的三边长，求证方程a²x²-（a²+b²-c²）x+b²=0没有实数根

Answer 1

Δ＝[-（a²+b²-c²）]²－4×a²×b²
＝[-（a²+b²-c²）]²－（2ab）²
∵[-（a²+b²-c²）]²=[a²+b²-c²]²（不管内部正负，结果都是正数）
＝[（a+b）²-c²-2ab]²－（2ab）²
平方差公式得
Δ=[（a+b）²-c²][（c²-a+b）²-4ab]
=[（a+b）²-c²][（a-b）²-c²]
∵a＜b+c（三边关系）
移向得a-b＜c
∴[（a-b）²-c²]＜0
∵[（a+b）²-c²]＞0（三边关系得a+b＞c）
∴[（a+b）²-c²][（a-b）²-c²]的解为负数
所以
Δ＝[-（a²+b²-c²）]²－4×a²×b²＜0
∴没有实数根

Answer 2

cosC=（a²+b²－c²）/ 2ab，a²+b²－c²＝cosC×2ab
Δ＝[-（a²+b²-c²）]²－4×a²×b²＝[cosC×2ab]²－4a²b²=coc²C×4a²b²－4a²b²＝4a²b²﹙coc²C－1﹚＝4a²b²×﹙﹣sin²C﹚＜0
所以没有实数根

Answer 3

根据△＜0可求的a²+b²＜c²，所以△ABC是锐角三角形