Question

平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点

平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B,O,D三点），过P作平行于AC的直线，交直线AD与E交直线AB于F.

(1)若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF
(2)若点P在BD或DB得延长线上，试探究AC,PE,PF满足的等量关系，（只写结论）

Answer 1

延长FP、BC于G

因为PE//AC

所以三角形BPF相似于三角形BOA，

三角形BPG相似于三角形BOC

所以AO/PF=BO/BP,

BO/BP=OC/PG。

又已知平行四边形ABCD

所以AO=OC

所以FP=PG

因为AD平行于BC，AC平行于FG

AEGC为平行四边形

所以EG=AC

AC=EP+GP,

因为GP=FP,

所以AC=EP+FP

Answer 2

AC=PE+PF
因ABCD是平行四边形（已知）
所AD||BC
所DE||AC
设交直线BC的点为Q点
又因过点P作平行于AC的直线QE
所EQ||AC
所EQAC是平行四边形
所EQ||AC 且EQ=AC
EQ=EF+FP=PQ
=EP+PQ
又因ABCD的对角线交与点Q
∴AC=AO+OC
∴AO=OC
则FQ=FP+PQ
∴FP=PQ
∴EQ=EP+FP
∴AC=PE=PF

Answer 3

AC=PE+PF
因ABCD是平行四边形（已知）
所AD||BC
所DE||AC
设交直线BC的点为Q点
又因过点P作平行于AC的直线QE
所EQ||AC
所EQAC是平行四边形
所EQ||AC 且EQ=AC
EQ=EF+FP=PQ
=EP+PQ
又因ABCD的对角线交与点Q
所AC=AO+OC
所AO=OC
则FQ=FP+PQ
所FP=PQ
所EQ=EP+FP
所以AC=PE=PF

注明这个画图就很清晰了

Answer 4

这是正确的图

Answer 5

(2)当点P在BD延长线上时，AC=PF-PE，当点P在DB延长线上时，AC=PE-PF.
答案上是这么写的