Question

如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D、E分别是边AB、AC的中点,点P从点D出发沿

如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿射线DE方向运动，过点P作PM⊥BC于M，过点M作MN‖AB交AC于N，当点M与点C重合时，点P停止运动，设BM=x，MN=y。（1）求点D到BC的距离DF的长（2）求y关于x的函数关系式（3）是否存在点P，使△PMN是以PM为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值：若不存在，请说明理由

Answer 1

：∵∠A=Rt∠，AB=6，AC=8，∴BC=10，
∵点D为AB中点，∴BD=AB/2=3
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B，
∴△BHD∽△BAC，∴DH/AC=BD/BC,
∴DH=BD/BC×AC=3/10×8=12/5。
又∵QR‖AB，∴∠QRC=∠A=90°，
∵∠C=∠C，∴△RQC∽△ABC，
∴RQ/AB=QC/BC，∴y/6=(10-x)/x，
即y关于x的函数关系式为：
y=-3/5x+6
此时存在，分三种情况：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C。
∴cos∠1=cosC=8/10=4/5，
∴QM/QP=4/5，
∴[(-3/5x+6)/2]/(12/5)=4/5，∴x=18/5。
②当PQ=RQ时，-3x/5+6=12/5，
∴x=6
③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，
∴CR=CE/2=AC/4=2
∵tanC=QR/CR=BA/CA
∴(-3/5x+6)/2=6/8，∴x=15/2
综上所述，当x为18/5或6或12/5时，△PQR为等腰三角形。

Answer 2

（1)
AB=6 AC=8
∴BC=10
DF⊥BC
∴△ABC∽△BDF
10/3=8/DF
DF=2.4
(2)
MN‖AB
∴△ABC∽△CMN
(10-x)/10=y/6
10y=6(10-x)
y=6-(3/5)x
(3)过P点做MN的垂线交MN于G
那么△PMG∽△ABC
MG/PM=AC/BC
MG/2.4=8/10
MG=1.92
如果G是MN的中点，那么△PMN就是等腰三角形，
MG=1/2y
∴1.92=1/2(6-3/5x)
x=3.6
同理当x=10-3.6=6.4时，△PMN也是等腰三角形