Question

若虚数z满足|z|=1,z/(1+z^3)∈R,则z=?

若虚数z满足|z|=1,z/(1+z^3)∈R，则z=?

Answer 1

设 z=cosx+i*sinx ，则 z^3=cos(3x)+i*sin(3x) ，
由于 1+z^3=[1+cos(3x)]+i*sin(3x)=2[cos(3x/2)]^2+2sin(3x/2)cos(3x/2)*i
=2cos(3x/2)*[cos(3x/2)+i*sin(3x/2)] ，
所以 z/(1+z^3)=1/[2cos(3x/2)]*[cos(x-3x/2)+i*sin(x-3x/2)]=1/[2cos(3x/2)]*[cos(x/2)-i*sin(x/2)] ，
由已知条件，sin(x/2)=0 ，所以 x/2=kπ ，x=2kπ ，(k∈Z)
因此 z=cosx+i*sinx= 1 。

追问

题目说了z是虚数。。

追答

哦，把条件漏了。这样的话，则 z 无解 。

Answer 2

z=a+bi,b≠0
无法输入z的共轭，用g(Z)代替吧
,z/(1+z^3)∈R
则 z*[1+g(z)³]∈R
∴ z+z*g(z)*g(z)²∈R
∵ |z|=1,∴ z*g(z)=1
∴ z+g(z)²∈R
即 a+bi+(a-bi)²∈R
a+bi+(a-bi)²=a+a²-b²+(b-2ab)i∈R
∴ b-2ab=0
∵ b≠0
∴ a=1/2
∴ b=±√(1-a²)=±√3/2
∴ z=(1/2)±(√3/2)i

追问

可是这样的话1+z^3=0了啊。。代回原式就不对了呢。。

追答

也是啊，看来这个题目是个错题。我再看看