Question

美国物理竞赛题！！高手请进

宇宙中某处星际尘埃的密度为 ： 2 × 10−17kg/m3
引力常数：G = 6.67 ×10^−11Nm^2/kg2.
假设这些尘埃构成了一个均匀的球体，而且逐渐收缩形成一个新的星球。
求所需时间t （用密度和引力常数表达）
（提示：用开普勒定律得到正确的系数）

Answer 1

首先设星云是球形的半径是r初始半径是R
星云收缩过程中表面重力加速度是
g=G*m/r^2 ------1式
其中
m是星云质量是p*V=p*4/3*π*(R^3)（其中p密度2×10−17kg/m3 ）代入1式得

g=G*p*4/3*π*(R^3)/r^2-----2式
下面是微积分
由
d(v)=g*d(t)其中v是星云表面收缩速度，将2式代入
d(v)=G*p*4/3*π*(R^3)/r^2*d(t)------3式
又由
d(r)= -v*d(t)代入3式得
d(v)=G*p*4/3*π*(R^3)/r^2*d(r)/(-v)
=>(-v)*d(v)=G*p*4/3*π*(R^3)/r^2*d(r)
解这个微分方程，（初始条件v=0时r=R）
-v^2/2= -G*p*4/3*π*(R^3)/r+G*p*4/3*π*(R^2)然后将其代入
d(r)= -v*d(t) 得
d(r)= -((G*p*4/3*π*(R^3)/r-G*p*4/3*π*(R^2))*2)^(1/2)*d(t)
解一下这个关于r和t的微分方程初始条件是t=0时r=R
然后算出当r=0时t的值就是所求！！！
不好意思我数学不好算不出来

Answer 2

哦，是天文方面的啊，你用开普勒定律去算不就行了吗？我忘了它的具体内容了，呵呵。不过再说多句废话，美国的竞赛题不是很难吧？