Question

求证:(x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2)^3能被2x^2+2y^2整除

Answer 1

有公式
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

故
(x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2)^3
=(x^2-xy+y^2+x^2+xy+y^2)((x^2+xy+y^2)^2-(x^2-xy+y^2)*(x^2+xy+y^2)+(x^2+xy-y^2)^2)
=(2x^2+2y^2)((x^2+xy+y^2)^2-(x^2-xy+y^2)*(x^2+xy+y^2)+(x^2+xy-y^2)^2)

有因式2x^2+2y^2

因此
(x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2)^3能被2x^2+2y^2整除

Answer 2

证明：根据立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)，
设x^2-xy+y^2=a, x^2+xy+y^2=b
则，a+b=2x^2+2y^2
所以(x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2)^3=(2x^2+2y^2)(a^2-ab+b^2)
（后面括号中没有把a、b还原，希望提问者看得懂）
所以(x^2-xy+y^2)^3+(x^2+xy+y^2)^3能被2x^2+2y^2整除。