Question

一道线性代数的题，求解析。A经初等行变换的矩阵B，问A列向量组与B列向量组的关系是什么，分析过程

它们是什么线性关系，还有A经初等行变换的矩阵B，则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合，怎么证明，具体一点

Answer 1

A列向量组与B列向量组有相同的线性关系:
1. A组中的部分组线性无关的充分必要条件是对应的B组的部分组线性无关
2. A组中某向量可由A的某部分组线性表示的充分必要条件是对应B组中的向量可由对应B组的部分组线性表示, 且组合系数相同

A经初等行变换的矩阵B, 则存在可逆矩阵P满足 B = PA
将A,B按行分块, 你乘一下就明白了

追问

那为什么楼上的例子中A的列向量组不能线性表出B的列向量组

追答

我没说列向量可以线性表示啊!!!

Answer 2

初等变换不改变秩，所以A,B的秩相等，从而列向量组的秩相等，所以A列向量组与B列向量组的关系是等价。

Answer 3

这两个列向量组之间不一定有线性关系：
反例：A=[(1 1),(0，0)] （表示第一行是（1,1），第二行是（0,0）的方阵）
对A的第一二行互换可得B=[(0,0),(1,1)]，显然A的列向量组不能线性表出B的列向量组。

Answer 4

A与B相抵