Question

一个奥数问题

设自然数中存在着魔术数，它的数码从大到小排列的数字与数码从小到大排列的数字之差是这个数本身。例如495就是一个魔术数：954-459=495；6174也是一个魔术数：7641-1467=6174。问是否存在五位数的魔术数？如果有，请举例一个（并说明如何举例）；如果没有，请说明详细理由。
这是奥数竞赛的题，回来后一直没想明白

Answer 1

仔细观察魔术数有一个特性 能被9整除，（ABC-CBA=99A+99C ABCD-DCBA=999A+90B-90C-999D），如果一个数能被9整除，则，各个位上的数的和也能被9整除。
设有5位数数字从大到小为ABCED则有
ABCDE-EDCBA=(A-E) (B-D-1) 9 (D+10-B-1) (E+10-A)，这5个数分别对应ABCED，但顺序未知。
因为假设中A最大所以A=9，剩下四个数为 9-E B-D-1 9+D-B E+1
因为从小到大也是5位数，所以E不为0
假设E=1，则有两个数为8 2（9-E和E+1），为了能被9整除，所以剩下的数为7，98721-12789=85932，不成立。
同理E=2，则为7 3 6 97632-23679=73953，不成立
E=3，则为6 4 5 96543-34569=61974，不成立
E=4，则为5 5 4 95544-44559=50985，不成立
E=5，而假设中E是最小的9-E=4小于E，不成立。
综上所述，五位数的魔术数是不存在的。

追问

想问您是几年级的

追答

大学四年……

追问

哦，那做出来就不奇怪了

追答

……

Answer 2

没有这样的数。
设A≥B≥C≥D≥E，
差值=(A*10000+B*1000+C*100+D*10+E)-(E*10000+D*1000+C*100+B*10+A)
=(A-E)*9999+(B-D)*990
差值一定是9的倍数。所以它的每个位数的和也是9的倍数。
差值=(A-E)*10000+(B-D)*1000-(B-D)*10-(A-E)
=(A-E)*10000+(B-D)*1000-(B-D+1)*10+(10-A+E)
=(A-E)*10000+(B-D-1)*1000+9*100+(9-B+D)*10+(10-A+E)
所以差的百位一定为9，所以A=9
若B=D，则差的十位数也是9，所以B=C=D=9，这时差值只能是89991，它不是魔术数，所以B一定不等于D
差值=(9-E)*10000+[(B-D-1)*1000+9*100+(9-B+D)*10+(E+1)
若E大于4，则最高位9-E小于5，表明最小的数小于5了，所以E小于5。
E=0时，万位数是9-E=9,，个位数是E+1=1，根据各位数之和是9的倍数，得十位数为9-1=8，但99810不是魔术数。
E=1时，万位数是9-E=8，个位数是E+1=2，根据各位数之和是9的倍数，得十位数为9-2=7，但98721不是魔术数。
E=2时，万位数是9-E=7，个位数是E+1=3，根据各位数之和是9的倍数，得十位数为9-3=6，但97632不是魔术数。
E=3时，万位数是9-E=6，个位数是E+1=4，根据各位数之和是9的倍数，得十位数为9-4=5，但96543不是魔术数。
E=4时，万位数是9-E=5，个位数是E+1=5，根据各位数之和是9的倍数，得十位数为9-5=4，但95544不是魔术数。
所以无论E为何值，都不是魔术数。

追问

想问您是几年级的

追答

大学，这个题所使用的数学知识并不深奥
1. 会比较数的大小
2. 会将一个5位数表示成各个数字与10、100等积的和
3. 会加减乘除四则混合运算
4. 了解9倍数的性质
5. 理解题目的已知条件和问题
其它的只是见识的多少而已，题目做多了自然就会。
所以有些奥数题，大学生不一定能做出来，而小学三四年级的照样做出来。

追问

想来确实是这样哦

Answer 3

好难

Answer 4

先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。

Answer 5

9000
因为商为3又11分之2，取小数为2/11，2/11是一循环小数，是0.18181818...，根据此规律即可得出小数点后2000个数的和为9000。

Answer 6

商为3又11分之2，取小数为2/11，2/11化成循环小数是：0.181818...，以两个数为一组，就有2000÷2=1000（组），两数的和为1+8=9，和是1000×9=9000