Question

如图.在△ABC中.∠B=2∠C.AD⊥BC.垂足为D.M是BC的中点.求证DM=1/2AB

Answer 1

过M点作ME平行于AD交AC于E,
AD垂直于CB,所以ME也垂直于CB.
连接BE,在三角形CBE中ME是中线也是垂线
所以是等腰三角形（也可用全等三角形证明）
所以BE=CE,∠C=∠CBE,又角B=2∠C
所以∠EBA=∠C,又∠CAB是三角形EAB,和BAC的共角
所以它们是相似三角形
所以AB/EA=CB/EB=CB/CE
由于ME//AD根据平行线等分性质（也可用相似三角形证）
CM/MD=CE/AE,CM=1/2CB,所以有CB/CE=2MD/AE
所以结合两个比例式MD=1/2AB
所以DM=1/2AB

Answer 2

证明：

延长CB到E，使BE=AB，连接AE

则∠E=∠BAE

∴∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E

∵∠ABC=2∠C

∴∠C=∠E

∴AE=AC

∵AD⊥BC

∴DE=CD【三线合一】

∵CE=BC+BE=BC+AB

∴CD=½（BC+AB）

∵M是BC的中点

∴CM=½BC

∴DM=CD-CM=½（BC+AB）-½BC=½AB

Answer 3

[[1]]
作辅助线.
延长CB到点E,使得BE=BA,
连接AE
[[2]]
易知,⊿AEC为等腰三角形
由AD⊥CE,结合三线合一可知
CE=CB+BE=CB+AB=a+c.
又CM=a/2
DM=DC-CM=[(a+c)/2]-(a/2)=c/2=(1/2)AB