Question

无理方程

已知关于x的方程x²+2x+ 2√x²+2x+2p -p²=0，其中p是实数。求： 1）若方程无实数根，求p的取值范围 2）若p>0,当P为何值时，方程有两个相等的实数根？求出这两根

Answer 1

分析：（1）换元，令√(x^2+2x+2p)=y，把√(x^2+2x+2p)中根号下的数看成整体，再求p的范围；
（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．
解答：解：（1）令√(x^2+2x+2p)=y，①
则原方程变为y^2+2y-（p^2+2p）=0
∵△=4+4（p^2+2p）=4（p^2+2p+1）=4（p+1）^2≥0，
即y1=p，y2=-2-p
若原方程没有实数根，只须{p＜0-2-p＜0
解这个不等式组，得-2＜p＜0
（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得√(x^2+2x+2p)=p②
而y2=-2-p＜0，舍去．
将②式平方，整理得x^2+2x-（p^2-2p）=0．③
令△=4+4（p^2-2p）=4（p^2-2p+1）=4（p-1）^2=0，解得p=1．
当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x^2+2x+1=0，
∴x1=x2=-1．
经检验，当p=1时，x1=x2=-1是原方程的根．
话说我好讨厌打字呀。。。