Question

定积分问题 请教高手

求f(x)=ln(1-2q*cosx+q^2) (|q|<1)的Fourier展开式，并计算∫(0->pi) ln(1-2a*cosx+a^2)dx (a∈R)

前面的Fourier展开已经得出：先对f(x)求导，然后利用复数解法可以得到|q|<1时的展开式，再逐项积分，得到f(x)的展开式，现在是后面一步，(不太清除分类后如何处理)
高手不吝赐教
哈哈，不好意思啊，难度大了
已经想出来了，用含参变量的积分来做，呵呵

JuanRequelme - 魔法师 五级 12-2 10:56
你的回答有点道理，但是这里的积分值是分|a|≤1和|a|>1两种情况讨论的。当|a|≤1利用Fourier展开式来计算，而后者利用含参变量的积分求值。

当然，可以用留数定理，谢谢大家了！

Answer 1

请你再解释一下什么叫Fourier展开式，我们用得最多的是泰勒展开式ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4+...+(((-1)^(n-1))*/(n(1+ζ))(0<=ζ<=x),我也试过分部积分法积这个积分，没积出来．

Answer 2

弱弱的问一句：得到Fourier展开式中的常数项乘以Pi不就是积分的值吗？？
延拓一下不就行了吗？？
顺便讲一下用含参量定积分的解法（一般没法直接积的定积分都这么做，或者留数定理，或者更巧妙的办法，譬如正态分布的积分）
设f(a)=∫(0->pi) ln(1-2a*cosx+a^2)dx
df/da=∫(0->pi) {d[ln(1-2a*cosx+a^2)]/da}dx
=∫(0->pi) (2a-2cosx)/(1-2a*cosx+a^2)dx
=(x-arctan[(a-1)/(a+1)*cot(x/2)])/a|(0,pi)
=2Pi/a
......

Answer 3

前面的Fourier展开已经得出：先对f(x)求导，然后利用复数解法可以得到|q|<1时的展开式，再逐项积分，得到f(x)的展开式，现在是后面一步，(复变函数－>留数定理
=123456789098876654433221112333

Answer 4

其实这题不必用定积分解，可用数列

Answer 5

复变函数－>留数定理
=123456789098876654433221112333