Question

已知函数f(x)=(根号3sinωx+cosωx)cosωx

（1）求f(x)的单调递增区间（2）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c满足（2a-c）cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围

Answer 1

解：f(x)=√3sinωxcosωx+cos²ωx=√3/2sin2ωx+1/2（cos2ωx-1）
=√3/2sin2ωx+1/2cos2ωx-1/2
=sin2ωxcosπ/6+cos2ωxsinπ/6-1/2
=sin（2ωx+π/6）-1/2
（1）由正弦函数的单调性，当-π/2+2kπ≤2ωx+π/6≤π/2+2kπ时，f(x)单调递增
所以，f(x)的单调递增区间为[-π/3+kπ，π/6+kπ][k属于Z]
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，两边同除b得：（2a/b-c/b）cosB=cosC
由正弦定理得：（2sinA/sinB-sinC/sinB）cosB=cosC,化简得：
2sinAcosB=cosCsinB+sinCcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA,得：
cosB=1/2，所以，B=π/3
所以0＜A＜2π/3，所以，π/6＜2ωA+π/6＜4πω/3+π/6
又，f(A)=sin（2ωA+π/6）-1/2
由于ω（大于0）值不清楚，
所以分类讨论。分界点为1，4πω/3+π/6=π/2（即：ω=1/4）
2，4πω/3+π/6=5π/6（即：ω=1/2）
3，4πω/3+π/6=3π/2（即：ω=1）
（1），当0＜ω≤1/4时，0＜f(A）＜sin（4πω/3+π/6）-1/2
（2），当1/4＜ω≤1/2时，0＜f(A）≤1
（3），当1/2＜ω≤1时，sin（4πω/3+π/6）-1/2＜f(A）≤1
（4），当ω＞1时，-1≤f(A）≤1