Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，线段OA、OB的长分别为方程x2-8x+12=0的两个根（OB》OA），C是y

轴上一点，其坐标为（0，-3）。（1）求A、B两点的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）D是点以关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M\N分别是y轴x上的两个动点。①当△CEM是等膘三角形时，请直接写出此时点M的坐标；②以点D、E、M、N为顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M、N的坐标；若没有，请说明理由。

Answer 1

(1) x² = 8x + 12 = 0

(x-2)(x-6) = 0

x = 2或x = 6

A(2, 0), B(6, 0)

(2)过A、B的抛物线可表示为y = a(x - 2)(x - 6)

取x = 0, -3 = 12a

a = -1/4

y = -(x - 2)(x - 6)/4

(3)对称轴： x = (6+2)/2 = 4

此时y = -(4 - 2)(4 - 6)/4 = 1

E(4, 1)

题中有遗漏，D来历不明，估计是C关于对称轴的对称点，以下按此做。

CE = √[(4-0)² + (1+3)²] = 4√2

①当△CEM是等膘三角形时

(i) CE = CM且M在C上方

M(0, 4√2 - 3)

(ii) CE = CM且M在C下方

M(0, -4√2 - 3)

(iii) CM = EM

设M(0, m)

CM = |m +3| 

EM = √[(4-0)² + (m - 1)²] = √[16 + (m - 1)²] 

√[16 + (m - 1)²]  = |m +3| 

两边平方，解得m = 1

M(0, 1)

(iv) CE = EM

设M(0, m)

CE = 4√2 

EM = √[(4-0)² + (m - 1)²] = √[16 + (m - 1)²] 

√[16 + (m - 1)²]  = 4√2

两边平方，解得m = 5或m = -3(此为C，舍去)

M(0, 5)

②这个有点啰嗦，有空再看。