Question

秩相等的两个向量组一定等价吗？等价的向量组包含的向量个数是否相同？

我想要一个系统一般的证明，不要特例。

Answer 1

秩相等的两个向量组不一定等价，等价的向量组包含的向量个数不一定相同。

等价向量组的性质

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

6、如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

扩展资料：

向量组等价与矩阵等价：

向量组等价涉及两向量组中的各向量，两个向量组可以相互表示。

矩阵等价涉及的是两个矩阵，其中一个矩阵可以通过另一个矩阵线性变换等到。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件：

R（A）=R（B）=R（A，B），

参考资料来源：百度百科-等价向量组

Answer 2

秩相等的两个向量组不一定等价
等价的向量组包含的向量个数是可相同也可不同。
说明：
1、两个向量组要等价不仅要求向量组A和B的秩相等，而且要求和A和B组合成的新向量租的秩也要相等。即向量组A与向量组B等价<=>R(A)=R(B)=R(A,B).
楼上举的就是R(A)=R(B)=1≠R(A,B)=2，因此两者不等价。
2、第二个就更简单了，向量组等价，个数肯定可以不同。设向量组A，只要在A中添加任何由A中向量线性表出的向量得到向量组B仍和A等价，但B中向量个数较A多。

Answer 3

不一定，例如
向量 (0,1,0)和向量(1,0,0)都可以构成秩为1的向量组，但是两者不等价

只有“是”的命题需要系统性的证明，否定性的命题，特例就足够了。不成立的命题，要证明是非常难的。

Answer 4

等价的两个向量组最大无关向量组中的向量的个数是相等的～这就是说它们的秩是相等的～但是秩相等不一定两个向量组等价～

Answer 5

设A组可由B组线性表示, 且 r(A)=r(B)
则 r(B,A) = r(B)
所以 r(A,B) = r(B) = r(A),
所以 B组 可由 A组 线性表示
故A组,B组等价.