Question

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已知椭圆E：x^2/8+y^2/4=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．在平面上是否存在一点P，使得GF/GP=1/2？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

椭圆E：x^2/8+y^2/4=1，a^2=8 b^2=4 c^2=4 c=2
左焦点为F(-2,0),左准线l:x=-4,圆心C(-4,0)
圆C的方程：(x+4)^2+y^2=16
设符合条件的点P(x,y)，g点坐标（x0，y0）
则向量2gf＝向量pg
2（－2－x0，－y0）＝（x0-x,y0-y)
所以2（－2－x0）＝x0-x
－2y0=y0-y
推出：x0=(x-4)/3 y0=y/3
因为(x0+4)^2+y0^2=16
所以代入x0 y0可得
[(x-4)/3+4]^2+(y/3)^2=16
整理可得
(x+8)^2+y^2=144
即P点轨迹为圆心在(-8，0)半径为12的圆。
望采纳。。。。

Answer 2

P在平面上？符合条件的点可多了，这些点可以形成一个轨迹。

椭圆E：x^2/8+y^2/4=1，a^2=8 b^2=4 c^2=4 c=2
左焦点为F(-2,0),左准线l:x=-4,圆心C(-4,0)
圆C的方程：(x+4)^2+y^2=16
设符合条件的点P(x,y)，则G((x-4)/3，y/3)
G在圆C上，所以：[(x-4)/3+4]^2+(y/3)^2=16
即:(x+8)^2+y^2=144.这是圆心在(-8，0)半径为12的圆。
因此P点轨迹为圆心在(-8，0)半径为12的圆。