Question

矩阵的秩有关习题

1设A是mXn矩阵，B是nXm矩阵，证明当m>n，必有行列式丨AB丨=0。
2设A为n阶矩阵，则行列式丨A丨=0的一个必要条件为，A中必有一行为其余各行的线性组合。
第一个问题请给出详细证明步骤，并说明原因。
第二个问题不懂什么是线性组合，请举例说明。

Answer 1

知识点: 设A为n阶方阵, 则 |A|=0 <=> r(A)<n <=> A的行向量组线性相关

1. 由已知, AB为m阶方阵, 而 r(AB) <= r(A) <= min{m,n} = n < m
所以 |AB| = 0

2. 线性组合: 向量a 可以表示为向量组 a1,a2,...,as 的线性组合, 即存在数k1,k2,...,ks 满足
a = k1a1+...+ksas.
这个题目可能改为充分必要条件
|A|=0
<=> r(A)<n
<=> A的行向量组线性相关
<=> A中必有一行为其余各行的线性组合