Question

循环节长度是4的循环小数化成最简分数后，分母是三位数这样的循环小数有几个

Answer 1

分数可写为：4位循环节/9999
9999=3x3x11x101
要想分母有3位，则必为303或909（就是与分母的最大公约数为33或11）
所以，不可被101整除的三位数/909，即可满足题目要求。

101是质数，可以被告101整除的三位数有101、202、303、404、505、606、707、808、909九个。
只要分子不是这九个数其它小于909的数作分子都可以；分母为909。

909-9=900
这样的真分数有900个

Answer 2

0.ABCDABCD……
= ABCD.ABCDABCD …… - ABCD
= 10000*0.ABCDABCD…… - ABCD
即
ABCD = 9999*0.ABCDABCD……
0.ABCDABCD…… = ABCD / 9999

9999=3×3×11×101
化简为分母为三位数，即分母只能为101、303、909（分别是在9999中约去了99、33、11）
则
①从1到100，与101互质的数有100个
②从1到302，与303互质的数有302 - 100 - 2 = 200个
③从1到908，与909互质的数有908 - 302 - 8 + 2 = 600个

综上，这样的循环小数有100+200+600 = 900个