Question

数列|x(n)|<1,y(n)=x(n)^n, n→∞时limy(n)是否有极限为0，证明？

Answer 1

n→∞时limy(n)不等于0，且不存在。

假设n→∞时limy(n)存在且为A∈[0,1]。
则对于某个ε>0,存在一个正整数N使得|x(N)-A|=ε，且对于所有n>N使得|x(n)-A|<ε。
设存在正整数N1>N，但是x(N1)∈(0,1),所以|x(N1)-A|显然不一定<ε，所以矛盾。
假设不成立。
所以n→∞时limy(n)不存在。

Answer 2

不一定啊比如（1－1/n)^n的极限不是为0的啊（x(n)＝（1－1/n)），有的可能会有极限为0比如x(n)=(1/2)^n可以得出y(n)=x(n)^n, n→∞时limy(n)否有极限为0；具体情况具体分析啦。

Answer 3

有啊。