Question

如图,已知AB是圆O的直径,点C在圆O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P，且AC=PC，∠BOC=2∠BCP。

（1）求证：PC是圆O的切线；
（2）求∠P的度数；
（3）设M是弧AMB的中点，若圆O的半径为2，求线段BM、CM及劣弧BC所围成的阴影部分的面积。

Answer 1

1、因为OC=OB，所以∠OCB=∠OBC=（π-∠BOC)/2=(π/2)-∠BOC/2 √
∠OCP=∠OCB+∠BCP=∠OCB+(∠BOC/2)=π/2
所以pc是切线。
2、
已知：∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠OCP=π/2 所以∠ACO=∠BCP=∠BOC/2=∠P
而∠CBO=∠P+∠BCP=∠BOC所以△OCB为等边三角形，即∠BOC=60°所以∠P=30°
3、易知∠AMB为等边直角三角形，所以BM=2√2 CM为直径，CM=4
面积S=(∠COB/2π)*πr^2=2π/3

Answer 2

（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB（1分）
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°（2分）
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP（3分）
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线（4分）
（2）解：∵PC=AC，∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠P（5分）
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
∴3∠P=90°
∴∠P=30°（6分）
（3）解：∵点M是半圆O的中点，
∴CM是角平分线，
∴∠BCM=45°（7分）
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，∴BC=
1
2
AB=2（8分）
作BD⊥CM于D，
∴CD=BD=
2
2
BC=
2
，
∴DM=
3
BD=
6
∴CM=
2
+
6
（9分）
∴S△BCM=
1
2
CM•BD=
3
+1（10分）
∵∠BOC=2∠A=60°，∴弓形BmC的面积=
2
3
π-
3
（11分）
∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为
2
3
π+1（12分）
（注：其它解法，请参照给分）