Question

求解一道高中数学解析几何的数学题。很急！但我没财富值了。

设A,B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点。试判断是否存在这样的λ，使得A,B,C,D四点在一圆上？说明理由。

Answer 1

整个过程太繁琐了。而且打字也不方便，我就大致说下思路，你顺着思路走，是可以做出来的。

首先，这题目涉及到ABCD四个点，而只有一个N是已知的定点，那么怎么设未知数就比较麻烦了。 先看比较多条件的AB两点，设成(x1,y1);(x2,y2)那么就有x1+x2=2。这时候就发现如果设AB的斜率为k，那么CD的斜率就知道是-1/k。而且AB的方程就是y=k(x-1)+3，代入椭圆方程就得到一个x的2次方程，根据韦达定理，x1+x2=2k(k-3)/(k²+3)=2 。解出来k=-1。这下就豁然开朗了。这题AB,CD这两条直线的方程直接求出来了。
题目变成椭圆3x²+y²=λ与直线y=-x+4的两个交点AB，与直线y=x+2的两个交点CD四点共圆。实际上。只要AC与AD垂直就等价了，这是平面几何的简单知识。自己可以去推下。这下就只要代入就OK了。。就是(x3-x1)(x4-x1)+(y3-y1)(y4-y1)=0计算自己去做