Question

证明：任何有界的复数列必有一个收敛的子数列。

Answer 1

设数列{Xn}中所有点均在[a,b]内，下证{Xn}必有收敛子列。

取[a,b]的中点c，则[a,c]和[c,b]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，设此区间为[a1，b1]

任取[a1，b1]中{Xn}的一项，设为y1

取[a1,b1]的中点c1，则[a1,c1]和[c1,b1]中至少有一个区间内包含数列{Xn}的无穷项，设此区间为[a2，b2]

任取[a2，b2]中{Xn}的一项，设为y2

照这样一直做下去，我们得到一系列区间[ak，bk]，区间长度为(b-a)/2^k→0，(k→∞)

同时得到一数列{yk}，显然{yk}是{Xn}的子列，且yk∈[ak，bk]

由闭区间套定理，存在唯一的点X∈[ak，bk]，k取全体正整数

由于：yk∈[ak，bk]，因此yk→X，(k→∞)

则{yk}是{Xn}的收敛子列。

柯西收敛准则：

数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

Answer 2

1.
设有界的复数列{z(n)=a(n)+ib(n)}n∈N,
|a(n)|≤|z(n)|≤M==>
{a(n)}n∈N为有界的实数列,则必有一个收敛的子数列
{a(u(k))}k∈N,且Lim{k→∞}a(u(k))=a。

|b(u(k))|≤|z((u(k))|≤M==>
{b(u(k))}k∈N为有界的实数列,则必有一个收敛的子数列
{b(u(v(s)))}s∈N,且Lim{s→∞}b(u(v(s)))=b。

2.
{z(u(v(s)))=a(u(v(s)))+ib(u(v(s)))}s∈N
为{z(n)=a(n)+ib(n)}n∈N的子列,且
Lim{s→∞}z(u(v(s)))=a+ib.