Question

求定积分上限为1下限为0x㏑﹙x+1﹚dx

求定积分上限为1下限为0x㏑﹙x+1﹚dx=求定积分上限为1下限为0㏑﹙x+1﹚dx^2/2
为什么这样解题？

Answer 1

分部积分法公式：∫ u dv = u×v - ∫ v du
先计算不定积分：
∫ x ln(x+1) dx = ∫ ln(x+1) d(x²/2) 采用分部积分法
= (x²/2)ln(x+1)﹣(1/2) ∫ x²/(x+1) dx
= (x²/2)ln(x+1)﹣(1/2) ∫ [x﹣1 + 1/(x+1) ] dx
= (x²/2)ln(x+1)﹣(1/2) [ x²/2﹣x+ln(x+1)] + C

追问

什么是分部积分法？

追答

计算不定积分的一种方法，利用两个函数乘积的求导公式推出：
（ u × v）' = u' × v + u × v'
=> u × v ' = ( u × v）' ﹣ u ' × v
两边积分： ∫ u × v ' dx = u × v ﹣ ∫ u ' × v dx
即： ∫ u dv = u×v - ∫ v du

追问

∫ ln(x+1) d（x²/2） 这里面的（x²/2）这个为什么这样解？

追答

凑微分， 将 x dx 凑成 d(x²/2)。