Question

如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△

如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图（2）
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形．

Answer 1

　　解：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，
∵∠H+∠HAC=45°，∠HAC+∠CAG=45°，
∴∠H=∠CAG，
∵∠ACG=∠B=45°，
∴△AGC∽△HAB，
∴同理可得出：始终与△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；
故答案为：△HAB和△HGA．

（2）∵△AGC∽△HAB，
∴AC：HB=GC：AB，即9：y=x：9，
∴y=81/x
∵AB=AC=9，∠BAC=90°，
∴BC=根号下AB^2+AC^2=根号9^2+9^2=9倍根2
答：y关于x的函数关系式为y=81/x (0＜x＜9倍根2）
（3）①当CG＜1/2BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH．
∵AG＜AC，∴AG＜GH，又AH＞AG，AH＞GH，
此时，△AGH不可能是等腰三角形；
②当CG=1/2BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；
此时，GC=5倍根2，即x=5倍根2．
③当CG＞1/2BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA．
若△AGH必是等腰三角形，存在AG=AH或AH=GH．
若AG=AH，则AC=CG，此时x=10．
若AH=GH，此时x=10倍根2．
综上，当x=10或5倍根2或10倍根2时，△AGH是等腰三角形．

Answer 2

（1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．
（2）由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y=x：9即可．
（3）此题要采用分类讨论的思想，①当∠GAH=45°是等腰三角形的底角时，如图1：可知解得CG；若B，G及E重合如图所示，此时CG与BC相等，由AB=AC=9，根据勾股定理求出CG即可；②当∠GAH=45°是等腰三角形．的顶角时，如图2：由△HGA∽△HAB，利用其对应边成比例即可求得答案．

Answer 3

（1）、△HAB △HGA；

（2）、由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0<x<9根号2)

（3）因为：∠GAH= 45°

①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图（1）：可知CG=x=9根号2/2

②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图（2）：由△HGA∽△HAB

知：HB= AB=9，也可知BG=HC，可得：CG=x=18-9根号2

Answer 4

图呢？

Answer 5

请发图，谢谢