Question

已知函数f(x)=(a/3)x^3+(1/2)x^2-(a-1)x+1

对任意的x<-1,恒有f(x)<1成立,求正实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=(a/3)x^3+(1/2)x^2-(a-1)x+1, 对任意的x<-1,恒有f(x)<1成立,求正实数a的取值范围
解析：∵函数f(x)=(a/3)x^3+(1/2)x^2-(a-1)x+1
当a=0时，f(x1) =(1/2)x^2+x+1，f(x)在x=-1处取极小值
当a<0时
令f’(x)=ax^2+x-(a-1)=0==>x1=-1,x2=(a-1)/a
f’’(x)=2ax+1==>f”(x1)=1-2a, f”(x2)=2a-1
f”(x1)>0,f(x)在x1处取极小值，f”(x2)<0,f(x)在x2处取极大值；
当a>0时，f”(x1)<0,f(x)在x1处取极大值，f”(x2)>0,f(x)在x2处取极小值；
∵对任意的x<-1,恒有f(x)<1成立
f(-1)=1/2+2a/3=1==>a=3/4
∴0<a<3/4
∴正实数a的取值范围0<a<3/4

Answer 2

为了使任意的x<-1,恒有f(x)<1成立，只需使f(x)最大值<1即可
求f(x)导数f'(x)=ax^2+x-(a-1)=0得极值点x=-1或者1-1/a
如果-1=1-1/a则a=1/2时f'(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，-1)上是增函数，
则只需f(-1)=2a/3+1/2≤1即a≤3/4，所以a=1/2适合题意
如果-1>1-1/a即0<a<1/2时，x<1-1/a时f'(x)>0，1-1/a<x<-1时，f'(x)<0，
所以f(x)的最大值是f(1-1/a)，则f(1-1/a)=a(a-1)³/(3a³)+(a-1)²/(2a²)-(a-1)²/a+1<1
解得a>1/4即1/4<a<1/2
如果-1<1-1/a即a>1/2则f'(x)>0对于任意的x<-1恒成立，所以f(x)在(－∞，-1)上是增函数
则只需f(-1)=2a/3+1/2≤1得a≤3/4即1/2<a≤3/4
综合以上三种情况，所以正实数a的取值范围是(1/4，3/4]

Answer 3

f'(x)=ax^2+x-(a-1)=(x+1)(ax-a+1)=0得极值点x1=-1, x2=1-1/a
f(1)=-2a/3+5/2
f(1-1/a)=-2/3*(a-1)^3/a^2+1/2*(a-1)^2/a^2+1=1/(6a^2)(a-1)^2(-4a+7)+1
当0<a<1/2时，x2<x1, f(x2)为极大值，f(x1)为极小值，因此有：f(x2)<1, 得：-4a+7<0, 即：a>7/4, 不符
当a=1/2时，f'(x)=(x+1)^2/2>=0, 函数单调增，须有：f(-1)=-2a/3+5/2<1, 不符
当a>1/2时，x2>x1, f(x1)为极大值，须有：f(x1)=-2a/3+5/2<1, 得：a>9/4
综合得：a>9/4

Answer 4

见图片