Question

在三角形ABC中，已知a²=b²+c²+bc,2b=3c，a=3根号19，则三角形ABC的面积?

Answer 1

由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA
将a²=b²+c²+bc代入上式得
b²+c²+bc=b²+c²-2bccosA
化简得cosA=-bc/2bc=-1/2
因为A为三角形内角，所以A=120°

由2b=3c，得b=3c/2。将a=3√19，b=3c/2代入a²=b²+c²+bc得
171=19c²/4
解得c=6
所以b=3c/2=9

所以三角形面积为1/2bcsinA=1/2*9*6*√3/2=27√3/2

Answer 2

因为在三角形ABC中，由余弦定理得：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
因为a^2=b^2+c^2+bc
b^2+c^2-a^2=-bc
所以cosA=-1/2
所以角A=120度
把2b=3c 即;b=3/2c和a=3根号19代入a^2=b^2+c^2+bc得：
（3根号19)^2=(3/2c)^2+c^2+(3/2c)*c
c=6
b=9
所以三角形ABC的面积=1/2bcsinA=1/2*9*6*sin120=27倍根号3/2