Question

关于复合函数的问题

例题1：定义在[-1,1]上的偶函数f(x),当x∈[0,1]时为减函数，则不等式：f(1/2 - x)<f(X)的解集为？

解析：
-1≤1/2 - x≤1
-1≤x≤1
|1/2 - x|＞|x|

得：[-1/2,1/4)

为什么[-1,1]既是f(1/2 - x)的定义域又是f(X)的定义域？复合函数的定义域要怎么确定？在网上看了很多相关回答，都挺模棱两可的。

又如，例题2：已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，对定义域内的任意X1，X2，都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x＞1时，f(x)＞0，f(2)=1.
（1）求证：f(x)是偶函数
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数
（3）解不等式f(2x²-1﹚＜2

就（3）题的解题方式而言，f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}，但在解题中f(2x²-1﹚的定义域又定为2x²-1≠-1而不是2x²-1≠0，这又怎么解释？

Answer 1

为什么[-1,1]既是f(1/2 - x)的定义域又是f(X)的定义域？
答：[-1,1]是f函数的定义域，对于f(1/2 - x)就有-1≤1/2 - x≤1，对于f(X）就有-1≤x≤1；其实很简单，你只要令括号内的式子等于A，A的定义域就是f函数的定义域，然后接方程就可以了！
就（3）题的解题方式而言，f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}，但在解题中f(2x²-1﹚的定义域又定为2x²-1≠-1而不是2x²-1≠0，这又怎么解释？
答：这个应该是解析错了吧！

Answer 2

你是不是想的太复杂了？
这个问题不能想的太复杂，什么是定义域，就是所有f（X）里面的X都要满足题意给出的条件！
记得高一刚学函数的时候也是想不通，为什么前面是X满足那个条件，后面的各种含有X的式子也要满足那个条件。
后面才明白，我们不能把X当成一个具体的数字或者什么，它在不同的式子中有他自己独立的意义，就是一个未知数的代表而已。
对于第二个问题： 因为题意给出了X≠0啊，所以2X²-1≠-1咯，此时是要满足另一个隐性条件！
望采纳，不懂可以再问我，高考数学135额！