Question

已知抛物线x的平方=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且向量AF=λ向量FB（λ＞0）。过AB两点分别...

已知抛物线x的平方=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且向量AF=λ向量FB（λ＞0）。过AB两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（1）证明：向量FM乘向量AB为定值（2）设三角形ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值

Answer 1

已知抛物线x的平方=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且向量AF=λ向量FB（λ＞0）。过AB两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（1）证明：向量FM乘向量AB为定值（2）设三角形ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值

(1)解析：∵抛物线x^2=4y，∴焦点F(0,1)，准线方程y=-1
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)
∵A、B是抛物线上的两动点，向量AF=λ向量FB（λ＞0）
∴AB斜率存在，且过F(0,1)
设AB方程为y=kx+1
代入抛物线得:x^2-4kx-4=0,
判别式⊿=16(k^2+1)>0。
由韦达定理得：x1+x2=4k，x1x2=-4,
抛物线上任意一点斜率为y'=x/2
切线AM,BM方程分别为y=x1/2(x-x1)+y1,y=x2/2(x-x2)+y2
二者联立解得交点M坐标,x0=(x1+x2)/2=2k，y0=(x1x2)/4=-1
即M(2k,-1)
∴向量FM=(2k,-2),向量AB(x2-x1,y2-y1)
向量FM*向量AB=(x1+x2)(x2-x1)/2-2(y2-y1)=(x2^2-x1^2)/2-2[(x2^2-x1^2)/4]=0,

(2)解析：∵向量AF=λ向量FB，由定比分点公式得
F坐标：x=(x1+λx2)/(1+λ)=0==>x1=-λx2==>x1+x2=(1-λ)x2=4k,
∴(1-λ)^2x2^2=16k^2,
又x1x2=-λx2^2=-4
两式相比消去x1,x2得4k^2=(1-λ)^2/λ
弦长AB=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)* √[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)*√(16k^2+16)=4(1+k^2)=4+4k^2=4+(1-λ)^2/λ=λ+1/λ+2

由(1)知AB⊥FM，M到AB距离为d=|MF|=√(4k^2+4)=yF-yM=2.
∴S△ABM=(1/2)*d*|AB|=1/2*(4+4k^2)√(4k^2+4)=1/2√(4k^2+4)^3
=1/2√(λ+1/λ+2)^3

得到S=f(λ)= 1/2√(λ+1/λ+2)^3
λ+1/λ+2>=2[λ*(1/λ)]+2=4
(当仅当λ=1/λ,λ>0，即λ=1取等号，此时k=0)
所以S的最小值为4.