Question

已知实数x，y满足方程x^2+y^2-4x+1=0.求x^2+y^2的最大值和最小值

写出详细过程！！

Answer 1

x^2+y^2-4x+1=0
(x-2)^2+y^2=3 x,y表示的是以(2,0)为圆心 半径为根号3的圆。
由数形结合得
x^2+y^2的最值为圆心到原点的距离加上或者减去半径的长
所以 x^2+y^2最大值为 2+√3
x^2+y^2最小值为 2-√3

追问

x^2+y^2为什么表示圆心到原点的距离呢？

追答

啊啊啊 你说的对 开始我考虑错了 这个是距离的平方
x^2+y^2应该是x^2+y^2的最值为圆心到原点的距离加上或者减去半径的长的平方
x^2+y^2最大值为 (2+√3)^2=7+4√3
x^2+y^2最小值为 (2-√3)^2=7-4√3

追问

那为什么可以那样表示呢 ？

追答

这个是数学高级思想 中学数学里面数形结合思想要是你学通了很受益的
在以后的复数 几何 函数里面经常用到
你用代数算出来的和我画图画出来的是一个结果
不相信的话你可以试试。

追问

那我现在学的是直线与圆的位置关系这一章 以后可以直接把“x^2+y^2为圆心到原点的距离的平方”当成定理运用吗？

追答

意思一样啊 本身函数里面的x,y对应的就是坐标里面x,y跟原点的距离关系。
你肯定可以这么用的。

Answer 2

原方程可化简为：
（x-2)^2+y^2=3
这是一个以（2,0）为圆心，以根号3 为半径的圆。
x^2+y^2其实是平面上一点到原点的距离，故可知最大值为2+根号3，最小值为2-根号3