Question

用数学归纳法证明不等式根号1*2+根号2*3+...+根号n(n+1)＜1/2(n+1)^2

Answer 1

n=1时，根号2<2成立
n=k时成立，n=k+1时：
1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)+根号（K+2）(K+1)-1/2(K+1+1)^2
=1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)+根号（K+2）(K+1)-1/2[(K+1)^2+2(K+1)+1)]
=1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)+根号（K+2）(K+1)-1/2(K+1)^2-(K+1)-1/2
<根号（K+2）(K+1)-K-3/2

由于(k+2)(K+1)=k^2+3k+2
(K+3/2)^2=K^2+3k+9/4
k^2+3k+2-K^2-3k-9/4=-1/4<0
所以(K+2)(K+1)<(k+3/2)^2
所以根号（K+2）(K+1)<K+3/2
所以:根号（K+2）(K+1)-K-3/2<0
所以：1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)+根号（K+2）(K+1)-1/2(K+1+1)^2<0
即：1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)+根号（K+2）(K+1)<1/2(K+1+1)^2
n=k+1时成立。
所以原式成立。

追问

=1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)+根号（K+2）(K+1)-1/2(K+1)^2-(K+1)-1/2
<根号（K+2）(K+1)-K-3/2为什么小于这个

追答

因为：设n=k成立：
则:1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)<1/2(K+1)^2
即：1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)-1/2(K+1)^2<0
两边同时加：根号（K+2）(K+1)-K-3/2
即：
1*2+根号2*3+...+根号K(K+1)+根号（K+2）(K+1)-1/2(K+1)^2-(K+1)-1/2
<根号（K+2）(K+1)-K-3/2