Question

已知数列{an}、{bn}满足:a1=1/4,an+bn=1,bn+1=bn/1-an^2.

（1）求b1b2b3b4各为多少（2）求证数列{1/(bn-1)}是等差数列（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+……+ana(n+1),求实数a为和值时4aSn＜bn恒成立

求详细解答，谢谢，酌情悬赏

Answer 1

（1）b1=3/4
b2=b1/1-a1^2=4/5 所以 a2=1/5
b3=b2/1-a2^2=5/6 所以 a3=1/6
b4=b3/1-a3^2=6/7

（2）将bn=1-an 代入第二式得 bn+1=（1-an）/1-an^2=1/（1+an）
1/（b(n+1)-1）- 1/(bn-1) = (-(an+1)/an)-(-1/an)=-1常数
所以数列{1/(bn-1)}是等差数列

（3）由（2）得 1/(bn-1) =-4-（n-1）= -（n+3）
所以bn=（n+2）/（n+3）
an=1/（n+3）
Sn=(1/4)(1/5)+(1/5)(1/6)+(1/6)(1/7)+……+(1/(n+3))(1/(n+4))
=(1/4)-(1/5)+(1/5)-(1/6)+(1/6)-(1/7)+……+(1/(n+3))-(1/(n+4))
=(1/4)-(1/(n+4))
=n/[4(n+4)]
4aSn=na/(n+4)
由4aSn＜bn 得 a<(n+2)(n+4)/[(n+3)n]
(n+2)(n+4)/[(n+3)n]这个式子的极限为1
所以a=1