Question

高中数学：设z是虚数，w=z+1/z是实数，且-1<w<2,求z的实部的取值范围

Answer 1

可设Z=x+yi
W=Z+1/Z=x+yi+1/(x+yi)=x[1+1/(x^2+y^2)]+y[1-1/(x^2-y^2)]i
因为W是实数，所以 1-1/（x^2+y^2）=0
即x^2+y^2=1 此时W=2x 再由 -1<w<2得
-1<2x<1 即-1/2<x<1

Answer 2

令z=a+bi
1/z= 1/(a+bi)=(a-bi)/(a²+b²）
∴ w=z+1/z=a+bi+a/(a²+b²）-b/(a²+b²）i
=a+a/(a²+b²)+b(1-1/(a²+b²）) i
∵ w是实数
∴ b(1-1/(a²+b²）)=0 b=0 或1-1/(a²+b²）=0 （则(a²+b²）=1）
1> 若b=0 则-1<a<2
2> 若(a²+b²）=1 则-1<a+a/(a²+b²）<2
-1<2a<2
-1/2<a<1