Question

求n阶导数y=xln（x-1）的n阶导数 用莱布尼兹公式怎么做 或者其他的方法

Answer 1

y'=ln(x-1)+x/(x-1)
y''=1/(x-1)+[(x-1)-x]/(x-1)^2=1/(x-1)-1/(x-1)^2
y'''=-1/(x-1)^2+1/[2(x-1)^3]
y^(4)=1/[2(x-1)^3]-1/[2*3*(x-1)^4]
设y^(n)=(-1)^n/[(n-2)!(x-1)^(n-1)]-(-1)^(n+1)/[(n-1)!(x-1)^n] (n>1)
则[y^(n)]'=y^(n+1)=(-1)^(n+1)/[(n-2)!(n-1)(x-1)^n]-(-1)^(n+2)/[(n-1)!*n(x-1)^(n+1)]
=(-1)^(n+1)/[(n+1-2)!(x-1)^(n+1-1)]-(-1)^(n+1+1)/[(n+1-1)!(x-1)^(n+1)]
根据数学归纳法的定义，可知
设y^(n)=(-1)^n/[(n-2)!(x-1)^(n-1)]-(-1)^(n+1)/[(n-1)!(x-1)^n] (n>1)

追问

能用莱布尼兹公式求解吗

追答

高阶导数莱布尼兹公式 　　(uv)^(n)=∑(n，k=0) C(k,n) * u^(n-k) * v^(k)
　　注： 　　C(k,n)=n!/(k!(n-k)!)
可以写作
(uv)^(n)=u^(n)v+nu^(n-1)v'+n(n-1)/2!*u^(n-2)v''+...+n*(n-1)...(n-k+1)/k!*u^(n-k)v^k..uv^(n)
这里的u=x,v=ln(x-1)
因为u'=(x)'=1,u''=(x)''=0
所以，在公式中只有两项不是0，即
(uv)^n=uv^(n)+nu'v^(n-1)
y^(n)=[xln（x-1）]^n=x[ln(x-1)]^(n)+[ln(x-1)]^(n-1)
问题转化为求ln(x-1)的n阶和n-1阶导数，其过程和我上面解的类似，就不再累述
这样看来，在题运用公式不如运用归纳法简单呢

追问

嗯我 搞懂了 谢谢啊 之前我只求了 3阶导数 所以看不出规律