Question

分解三次因式的方法？

Answer 1

一．双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解 (1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

二 对称式和轮换式的分解

例 分解因式：（x3+y3+z3）-3xyz.

分析 当x=-y-z时，原式=0,由因式定理得原多项式有因式x+y+z，再由待定系数法分解。

解 原式为三次齐次对称式。

令 x=-y-z，则

原式=（-y-z）3+y3+z3-3(-y-z)yz

=-(y+z)3+y3+z3+3y2z+3yz2

=0

由因式定理得，原式有因式x+y+z,

故可设：x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)[k1(x2+y2+z2)+k2(xy+yz+zx)].

当x=y=0,z=1时，得k1=1

当x=0,y=z=1时，得k2=-1

∴原式(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx).

例 分解因式：x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz.

分析 此式是一个三次齐次轮换式。令x=y+z，有原式=0，故原式有因子x-y-z，同理，原式也有y-z-x,z-x-y因子。

解 令x=y+z,则

原式=（y+z）3+y2(2z+y)+z2(2y+z)-[(y+z)3+y3+z3]-2(y+z)yz

=(y+z)3+2y2z+y3+2yz2+z3-(y+z)3-y3-z3-2y2z-2yz2

=0

由因式定理，得原式有因子x-y-z，同理，原式也有因子y-z-x,z-x-y.

故可设，原式k(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)

展开比较系数，得k=-1.

∴原式=-(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)

=(x+y-z(y+z-x)(z+x-y).

例 求方程x+y=xy的整数解。

分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。

解： ∵ x+y=xy

∴ (x-1)(y-1)=1.

解之，得 x-1=1,y-1=1;

或 x-1=-1,y-1=-1.

∴ x=2 y=2

或 x=0 y=0

Answer 2

一．双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解 (1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

二 对称式和轮换式的分解

例 分解因式：（x3+y3+z3）-3xyz.

分析 当x=-y-z时，原式=0,由因式定理得原多项式有因式x+y+z，再由待定系数法分解。

解 原式为三次齐次对称式。

令 x=-y-z，则

原式=（-y-z）3+y3+z3-3(-y-z)yz

=-(y+z)3+y3+z3+3y2z+3yz2

=0

由因式定理得，原式有因式x+y+z,

故可设：x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)[k1(x2+y2+z2)+k2(xy+yz+zx)].

当x=y=0,z=1时，得k1=1

当x=0,y=z=1时，得k2=-1

∴原式(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx).

例 分解因式：x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz.

分析 此式是一个三次齐次轮换式。令x=y+z，有原式=0，故原式有因子x-y-z，同理，原式也有y-z-x,z-x-y因子。

解 令x=y+z,则

原式=（y+z）3+y2(2z+y)+z2(2y+z)-[(y+z)3+y3+z3]-2(y+z)yz

=(y+z)3+2y2z+y3+2yz2+z3-(y+z)3-y3-z3-2y2z-2yz2

=0

由因式定理，得原式有因子x-y-z，同理，原式也有因子y-z-x,z-x-y.

故可设，原式k(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)

展开比较系数，得k=-1.

∴原式=-(x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)

=(x+y-z(y+z-x)(z+x-y).

例 求方程x+y=xy的整数解。

分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。

解： ∵ x+y=xy

∴ (x-1)(y-1)=1.

解之，得 x-1=1,y-1=1;

或 x-1=-1,y-1=-1.

∴ x=2 y=2

或 x=0 y=0

因式定理
分组分解

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/5836417.html?si=2

Answer 3

3次多项式的因式分解方法主要还是先观察出它的一个根来,然后判定它含有哪个一次因子,分解后就变为二次的了.下面的内容系统地介绍了因式分解的方法.
即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：
f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。
（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止。

Answer 4

不是一定可以分解的
对于有根的三次因式 先求根

x^3+px+q=0(任何一元三次方程都可化为此形式)
其根为:x1=A+B;x2=wA+w^2B;x3=w^2A+wB.
其中,A=三次根号下{-q/2+二次根号下[(q^2)/4+(p^3)/27]};
B=三次根号下{-q/2-二次根号下[(q^2)/4+(p^3)/27]};
w=[-1+根号3)i]/2;i=根号下-1.(希望你学过虚数)

然后就可以分解因式成(X-X1)(X-X2)(X-X3)

Answer 5

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)或者
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)