Question

已知函数f(x)=x方+2/x+alnx。1.若a=-4,求函数的单调增区间。2.若函数在【1，正无穷）上单调增，

已知函数f(x)=x方+2/x+alnx。1.若a=-4,求函数的单调增区间。2.若函数在【1，正无穷）上单调增，求a的范围。

Answer 1

f(x)=x方+2/x+alnx （定义域为x>0）
f'(x)=2x-2/(x^2)+a/x
(1)若a=-4，则f'(x)=2x-2/(x^2)-4/x.
令f'(x)>=0,得到x>=(1+5^0.5)/2，即当a=-4，函数在该区间内单调递增。
(2)函数在【1，正无穷）上单调增，需同时满足以下两个条件
1.f'(1)>=0 即f'(1)=2-2+a>=0得到a>=0
2.满足1条件时f'(x)在【1，正无穷）上也>=0
即当a>=0,且x>=1时，f'(x)=2x-2/(x^2)+a/x=(2x^3+ax-2)/(x^3)
观察各项其中ax>0,(2x^3-2)=2(x^3-1)>=0,x^3>0,所以当a>=0,且x>=1时，f'(x)>=0
即满足题意。
若函数在【1，正无穷）上单调增，a的范围为a>=0.