Question

如图(1),在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC是弦,OC=4,∠OAC=60°.

（1）求∠AOC的度数；
（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长．

Answer 1

（1）
三角形OAC中
OA=OC
∠OAC=∠OCA=60°
∠AOC=180-∠OAC-∠OCA=60°
（2）
CP与⊙O相切时CP⊥OC
∠PCO=90°
所以∠ACP=30°
因为∠PAC=120°
所以∠APC=30°
所以AP=AC=OC=4
所以OP=PA+AO=8
(3)
有2种情况
1、M点在直径AB下方，则角AOM=60°
M运行的弧长=60/360*2*π*OC=4π/3
2、M点运行到C点，则
M运行的弧长=300/360*2*π*OC=20π/3

Answer 2

解：（1）在△OAC中，
∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
又∵∠OAC=60°，
∴∠AOC=60°；

（2）由（1）知，在△OAC中，∠OAC=∠OCA=60°，
∴∠COA=60°（三角形的内角和是180°）；
∵CP与⊙O相切，
∴∠PCO=90°；
在Rt△POC中，cos∠POC=cos60°=4PO，
∴PO=8．

Answer 3

（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形∴∠AOC=60°．

（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．∴CP⊥OC
∴∠P=90°-∠AOC=30°∴PO=2 CO=8．

（3）

如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种．
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1，弧AM1=（4/3）π。
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，弧AM2=（8/3）π。
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，弧AM3=（16/3）π。
④当点M运动到C时，M与C重合，弧AM4=（20/3）π。