Question

高二数学二次函数

1.若二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x),则方程f(x)=0有两个实根x1,x2,则x1+x2=?
2.设x1,x2是方程x^2-2kx+1-k^2=0的两个实根，求x1^2+x2^2的最小值

Answer 1

1.设x1是方程f(x)=0的根，则有f(x1)=0
因为f(3+x)=f(3-x)
所以f(x1)=f[3+(x1-3)]=f[3-(x1-3)]=f(6-x1)=0
所以x=6-x1也是方程f(x)=0的根，即x2=6-x1
所以x1+x2=6
2.x^2-2kx+1=k^2
x^2-2kx+1-k^2=0
x1+x2=2k
x1x2=1-k^2

x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=4k^2-2(1-k^2)
=4k^2-2+2k^2
=6k^2-2
判别式=4k^2-4(1-k^2)
=4k^2-4+4k^2
=8k^2-4>=0
k^2>=1/2
k<=-根号2/2 k>=根号2/2
x1^2+x2^2的最小值1
望采纳，谢谢

Answer 2

1
f(3+x)=f(3-x)
f(x+3)=f(3-x)
[(x+3)+(3-x)]/2=3
f(x)关于x=3对称
2次函数f(x)对称轴x=-b/2a
x1+x2=-b/a
(x1+x2)/2=3
x1+x2=6

2
(x-k)^2=2k^2-1 2k^2-1>=0 k^2>=1/2
x1+x2=2k
x1x2=1-k^2
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4k^2-2(1-k^2)=6k^2-2
x1^2+x2^2最小=6*(1/2)-2=1