Question

设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足向量OP=向量OA+t（向量AB/ 向量AB的模*cosB

设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足向量OP=向量OA+t（向量AB/ 向量AB的模*cosB+向量AC/ 向量AC的模*cosC），t属于（0，+无穷），则动点P的轨迹一定过三角形ABC的什么心？

Answer 1

向量OP=向量OA+t[向量AB/( |向量AB|*cosB)+向量AC/( |向量AC|*cosC)]
向量OP-OA=t[向量AB/( |向量AB|*cosB)+向量AC/( |向量AC|*cosC)]
∴向量AP=t[向量AB/( |向量AB|*cosB)+向量AC/( |向量AC|*cosC)]
∴向量AP*向量BC=t[向量BC·向量AB/( |向量AB|*cosB)+向量BC·向量AC/( |向量AC|*cosC)]
=t[|向量BC||向量AB|(-cosB)/( |向量AB|*cosB)+|向量BC||向量AC|cosC/( |向量AC|*cosC)]
=t[|向量BC|(-1)+|向量BC|]=0
∴向量AP⊥向量BC
∴动点P的轨迹一定过三角形ABC的垂心