Question

如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村.李庄到河边的距离为2km和7千米

且张.李村庄相距13KM.
(1)水泵应建在什么地方可使所用的水管最短？
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1000元，为铺设水管费用最省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

Answer 1

把河看成直线MN，作点A关于MN的对称点A1，AA1交MN于E，作BF垂直MN于F，
作AD垂直BF于D，作A1C垂直AF交其延长线于C。
（1）连接A1B，交MN于点P，点P即为水泵的地点。
（2）则四边形AA1CD是矩形，所以，AD=A1C，AE=DF=2KM。
BD=BF-DF=7-2=5KM。
在直角三角形ADB中，由勾股定理知，AD=根号（AB平方-BD平方）=根号（169-25）=12（KM）。
在直角三角形A1BC中，A1C=AD=12KM，BC=BF+CF=7+2=9KM，
由勾股定理知，
A1B=根号（A1C平方+BC平方）=根号（144+81）=15（KM）
所以，AP+BP=A1P+BP=A1B=15KM。
费用：15×1000=15000（元）。

Answer 2

解：（1）作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，PA+PB的长度之和最短，即所铺设水管最短；
（2）过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，
设这两线交于点C，则∠C=90°．
又过A作AE⊥BC于E，
依题意BE=5，AB=13，
∴AE2=AB2-BE2=132-52=144．
∴AE=12．
由平移关系，A′C=AE=12，
△BA′C中，∵BC=7+2=9，A′C=12，
∴A′B2=A′C2+BC2=92+122=225，
∴A′B=15．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴1500×15=22500（元）．
作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的难点

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