Question

数学一个难题。求高手帮忙！！

我是初四水平

Answer 1

数学归纳法。
n=2时，1²=1/6 * (2-1)*2*(2*2-1)
设当n=k时，1+2²+...+(k-1)²=[(k-1)k(2k-1)]/6成立
当n=k+1时，
1+2²+...+(k+1-2)²+(k+1-1)²
=1+2²+...+(k-1)²+k²
=[(k-1)k(2k-1)]/6 + k²
=(k/6)[(k-1)(2k-1)+6k]
=(k/6)[2k²+3k+1]
=(k/6)(2k+1)(k+1)
=(k+1-1)(k+1)[2(k+1)-1]/6
即n=k+1时等式成立
所以对所有n≥2的自然数，等式成立。
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额，那换个思路正推。。。。
n³-(n-1)³=[n-(n-1)][n²+n(n-1)+(n-1)²]=n²+n²-n+(n-1)²=2n²+(n-1)²-n
同样，(n-1)³-(n-2)³=2(n-1)²+(n-2)²-(n-1)
……
2³-1³=2*2²+1²-2
左边和右边分别相加，
n³-1³=2[n²+(n-1)²+(n-2)²+...+2²)]+[(n-1)²+(n-2)²+(n-3)²+...+1²]-(n+n-1+n-2+...+2)
设S=1²+2²+...+(n-1)²，则n²+(n-1)²+(n-2)²+...+2²=S+n²-1
那么n³-1³=2(S+n²-1)+S-[(n+n-1+n-2+...+2+1)-1]=3S+2n²-2-[n(n+1)/2 -1]=3S+2n²-1-n(n+1)/2
故6S=2[n³-1-2n²+1+n(n+1)/2]
=2n²(n-2)+n(n+1)
=n[2n(n-2)+n+1]
=n(2n²-3n+1)
=n(n-1)(2n-1)
故S=n(n-1)(2n-1)/6

Answer 2

要证明，可以用数学归纳法。不过看样子楼主是要推导过程：
2³-1³=2²+2²-2+1²
3³-2³=3²+3²-3+2²
4³-3³=4²+4²-4+3²
……
n³-（n-1）³=n²+n（n-1）+（n-1）²；
叠加，n³=2n²+3S-1-2-3-…-n
所以S=（n-1）n（2n-1）/6

Answer 3

数学归纳法，很简单。