Question

已知函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+2bx+c(a,b,c∈R)

且函数f(x)在区间(0,1)内取得极大值，在区间(1,2)内取得极小值，则z=(a+3)^2+b^2的取值范围是多少？
求详解，谢谢各位

Answer 1

f'(x)=x^2+ax+2b=0的两根分别在（0，1）及（1，2）
因此有：
f'(0)=2b>0, 即b>0
f'(1)=1+a+2b<0, 即：a<-2b-1
f'(2)=4+2a+2b>0, 即：a>-2b-2
故有： b>0, -2b-2<a<-2b-1，
以a为纵坐标，b为横坐标，此区间为两第四象限中-2b-1, -2b-2两直线之间的部分
z相当于点(b,a)到(0,-3)的距离的平方，显然没有最大值
而最小值为（0，-3）到a=-2b-2的距离的平方，为：1/5.
因此z>=1/5

Answer 2

(1/2,4),采用非线性规划方法求解。