Question

关于极坐标下θ的取值范围的疑问？ 欢迎来讨论！

我就想问下，比如在二重积分下， 如果积分区域是D=x^2+y^2=Rx 那么0≤r≤Rcosθ这时候我懂 ，关键是θ的取值范围我有点不清楚， 我是这样理解的θ=0是Rcosθ=R θ=π/2时，Rcosθ=0 θ=-π/2时 Rcosθ也同样等于0，那么θ的取值范围就位-π/2≤θ≤π/2。
又比如:如果积分区域是D=x^2+y^2≤y,x≥0 这个时候的θ的取值范围 就应该为0≤θ≤π/2。 因为x^2+y^2≤y写成极坐标就是0<=r^2<=rsinθ,因为半径r大于0，所以
sinθ>=0所以θ也必然>=0，所以取值范围是0≤θ≤π/2

Answer 1

画图，r是什么，绕着哪一点转，θ就是从这一点出发的仰角。

①标准情况下x^2+y^2=R^2，0≤r≤R是绕着原点转的，所以，仰角是一圈，0到2π。

②D=x^2+y^2=2Rx  ，0≤r≤2Rcosθ的话，r是绕着原点转有木有，最长是2Rcosθ你搞清楚怎么来的了不？整个圆在y轴右半边，θ取值也就是第四和第一象限呗，所以是-π/2≤θ≤π/2。θ=0是在x正轴取的，θ=π/2在y正轴

③D=x^2+y^2≤2y,x≥0，画图，半个圆，在第一象限。仰角依然是从原点出发有没有？所以 0≤θ≤π/2。需要注意的是θ=0是在y正轴取的，θ=π/2在x正轴取

都是对的，个人觉得画图看既简单又准确，如果限制了一个x>=1/2这种特殊的条件，也可以直观解出来~ 你题目有点问题，系数什么的都不对，可见你没太理解几何意义。

追问

那如果积分区域是:(x-1)^2+(y-1)^2≤2,y≥x 形如这样的积分区域,我该怎么确定了? θ和ρ的取值范围 是多少啊?

追答

右边换成4，半径为2好算一下。这样的话令x=1+2cosθ，y=1+2sinθ,0≤r≤2，r是以（1,1）为圆心，θ绕着转一圈
还可以令y=1+2cosθ，x=1+2sinθ,0≤r≤2，θ也是绕着转一圈
但是θ的意义取决于直角坐标和极坐标转化时候设置的形式。
上面说的②③是由于设置的这种形式所以r是绕着原点转，而这里是绕着圆心转，看明白没？
绕着圆心转的极坐标肯定是r≤R，而出现了r≤R（θ）这种就不是绕着圆心了，根据设的形式可以判断出来的。