Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c对一切x属于[-1,1]都有|f(x)|<=1,证明:对一切x属于[-1,1]都有|2ax+b|<=4

Answer 1

.|f(1)|=|a+b+c|≤1
|f(-1)|=|a-b+c|≤1
由绝对值不等式，2|a+c|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2,
|a+c|≤1
(2).4f(0)=|-4c|≤4
|f(1)|=|3a+3b+3c|≤3
|f(-1)|=|a-b+c|≤1
若ab≥0
2*|2ax+b|≤2*|2a+b|≤|4a+2b+4c-4c|≤3|f(1)|+|f(-1)|+4|f(0)|≤8
∴|2ax+b|≤4
若ab≤0
2*|2ax+b|≤2*|2a-b|≤|a+b+c+3a-3b+3c+4c-4c|≤|f(1)|+3|f(-1)|+4|f(0)|≤8
∴|2ax+b|≤4
综上,对于一切x∈[-1,1],都有|2ax+b|≤4,证毕。
参考：百度

Answer 2

证明:
[[1]]
可设
u=f(1)=a+b+c.
v=f(-1)=a-b+c.
可解得
2a=u+v-2c.
2b=u-v
结合题设及c=f(0)可得
|u|≤1, |v|≤1, |c|≤1
[[[2]]]
∵a≠0且|2ax+b|=|a|×|2x+(b/a)|
以下分类讨论
[1]
当ab≥0时,|2ax+b|=|a|×|2x+(b/a)|≤|2a+b|
∴2|2ax+b|≤|4a+2b|=|2u+2v-4c+2u-2v|=4|u-c|≤4[|u|+|c|]≤8
∴此时有|2ax+b|≤4
[2]
当ab≤0时,|2ax+b|=|a|×|2x+(b/a)|≤|a|×|-2+(b/a)|=|b-2a|
∴2|2ax+b|≤|2b-4a|=|(u-v)-(2u+2v-4c)|=|4c-u-3v|≤4|c|+|u|+3|v|≤4+1+3=8
∴此时有|2ax+b|≤4.
综上可知,原命题成立.