Question

已知函数f(x)=x3-x.设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明-a<b<f(a).

Answer 1

f(x)=x3-x,f`(x)=2x²-1.f`(x)在x=0时取得最小值.即f(x)在(-∞,0)时上凸,在(0,+∞)时下凸.设P(a,b),则a>0时,P点位于f(x)外凸一侧时方可在曲线y=f(x)(0,+∞) 部分作得二条切线.故有f(b)>b.

f`(x)=2x²-1.x→0,f`(x)→-1.即当P(a,b)位于直线y=-x上方时可同时在曲线y=f(x)(-∞,0)部分再作得一条切线. 故有-a<b.

Answer 2

首先，我设切点为（x0,x0^3-x0）,则该点的切线方程为y=(3x0^2-1)(x-x0)+x0^3-x0
又该线过(a,b)，得到x0关于a,b的一个方程 化简得，2x0^3-3ax0^2+a+b=0
x0看起来有点像常量，将其换为x 由于要有三条切线，题目也就转换成2x^3-3ax^2+a+b=0在R上有三个不同解 方程左边是个三次函数，联想一下形状，你懂得....N或者反N
三次函数=0要有三个不同根，则其极小值要小于0，极大值要大于0
对其求导，得 y’=6x^2-6ax=6x(x-a) 令其=0 得x=a或x=0
因为a>0,列个表得x=a为极小值点，x=0为极大值点 代入三次函数，得
a+b>0 -a^3+a+b<0 整理一下即为所需答案-a<b<f(a)
完毕O(∩_∩)O~ ng

Answer 3

假设切点为（m,m³-m），那么可得到方程（m³-m-b）÷（m-a）= 3m² - 1.
上诉方程可化简为 2m³-3am²+a+b = 0，因为要保证这个方程有3个不同的解才能保证有3条切线，每个解都是切点的横坐标，令 g(x) = 2x³-3ax²+a+b，那么我们的目标就是保证这个三次曲线有3个不同的零点。dg(x)/dx = 6x²-6ax = 0可求出这条三次曲线的两个极值点 x1 = 0，x2 = a，易知这两个是不相等的，因为a＞0，所以要保证这个三次曲线有3个不同零点的话必然得满足
g(0)＞0，g(a)＜0，于是我们可以得到 a+b＞0，a³-a＞b，所以上述不等式得证。

Answer 4

您好, 您的问题的回答如下:
http://hi.baidu.com/ephemerasylum/album/item/68d597f1c130deea7931aaa8.html