Question

如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB,AD为边向形外作等边三角形ABE和等边三角形ADF，延长CB交AE于G点，点G

点G在点A、E之间，连接CE,EF,CF，求证∠CDF=∠EAF，∠ECF是等边三角形

Answer 1

(1)
三角形DAF以及BAE等边三角形，可知各边相等以及每个内角均为60度，因此：
∠CDF=360-(∠ADF+∠ADC)=360-(∠ADF+180-∠DAB)=360-(60+180+∠DAB)=120+∠DAB
∠EAF=∠DAF+∠DAB+∠BAE=60+∠DAB+60=120+∠DAB
===>∠CDF=∠EAF
(2)FD=FA=AD DC=AB=AE ∠CDF=∠EAF 三角形FDC与三角形FAE全等，因此FC=FE，∠DFC=∠EFA,
∠EFA+∠DFE=60 ==>∠DFC+∠DFE=60,∠EFC=60 ==>三角形ECF是等边三角形。
得证。

Answer 2

因为∠FDC=360-∠FDA-∠ADC=180-∠FDA+180-∠ADC=120+∠DAB=∠FAE

FD=FA,DC=AB=AE

所以三角形FAE与三角形FDC为全等三角形

则∠CDF=∠EAF

因为三角形FAE与三角形FDC为全等三角形

所以FE=FC,∠DFC=∠AFE

因为∠EFC=∠EFD+∠DFC=∠EFD+∠AFE=∠AFD=60

所以三角形ECF是等边三角形