Question

一道数学题 我要详细解答过程

如图，已知Rt三角形ABC ， D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1垂直AC于 E1，连结BE1交CD1于D2 ；过D2作D2E2垂直AC于E2 ，连结BE2交CD1于D3；过D3作 D3E3垂直AC于E3 ，…，如此继续，可以依次得到点D4 ，D5，…，Dn，分别记 三角形BD1E1，三角形BD2E2…，三角形BD3E3 的面积为 S1，S2，S3… .Sn则 Sn=________ S三角形ABC（用含 的代数式表示）.

Answer 1

分析：
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质．再利用在△ACB中，D2为其重心可得D2E1=BE1，然后从中找出规律即可解答
解：
易知D1E1‖BC，
∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：
D1E1= 1/2BC，CE1= 1/2AC，S1= 1/2²S△ABC；
∴在△ACB中，D2为其重心，
∴D2E1= 1/3BE1，
∴D2E2= 1/3BC，CE2= 1/3AC，S2= 1/3²S△ABC，
∴D3E3= 1/4BC，CE2= 1/4AC，S2= 1/4²S△ABC…；
∴Sn= 1/(n+1)²S△ABC．

Answer 2

已知直角三角形ABC,D1是斜边AB中点,过D1作D1E1垂直AC于E1,连接BE1交CD1于D2;过D2作D2E2垂直AC于E2,连接BE2交CD于D3;过D3作D3E3垂直AC于E3……如此
S△BD(n)E(n)=1/2*D(n)E(n)*CE(n) D(n)E(n)=D1E1*CE(n)/CE1，而D1E1=1/2BC，CE1=1/2AC 所以S△BD(n)E(n)=1/2(1/2BC)CE(n)/(1/2AC)*CE(n)=1/2BC/AC*CE(n)＾2=1/2BC*AC*[CE(n)/AC]＾2 =S△ABC*[CE(n)/AC]＾2 延长CD1至F使得D1F=CD1，所以ACBF为 矩形 。 CE(n)/AC=D(n)E(n)/AF={CE(n-1)/[CE(n-1)+BF]*AF}/AF=CE(n-1)/[CE(n-1)+AC] 对于CE(n)/AC=CE(n-1)/[CE(n-1)+AC] 两边均取倒数，所以有AC/CE(n)=1+AC/CE(n-1) 即是AC/CE(n)-AC/CE(n-1)=1 AC/CE(n)构成 等差数列 。 而AC/CE(1)=2，故AC/CE(n)=2+1*(n-1)=n+1 所以S△BD(n)E(n)=S△ABC*[CE(n)/AC]^2 =S△ABC / (n+1)^2

另有参考：http://wapiknow.baidu.com/question/257522203.html

Answer 3

首先△BD1E1=△ABC-△AD1E1-△BCE1=1／4△ABC
△BD2E2=1／4△BE1C
而△BE1C=1／2△ABC
所以△BD2E2=1／8△ABC
………………
由此一直推到N，就是△BDnEn=1／2n+1△ABC
解：易知D1E1‖BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1= 1/2BC，CE1= 1/2AC，S1= 1/2²S△ABC；
∴在△ACB中，D2为其重心，
∴D2E1= 1/3BE1，
∴D2E2= 1/3BC，CE2= 1/3AC，S2= 1/3²S△ABC，
∴D3E3= 1/4BC，CE2= 1/4AC，S2= 1/4²S△ABC…；
∴Sn= 1/(n+1)²S△ABC．