Question

高分求一道大学生数学建模题的详细解答过程 急~~

一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏工序占95%，其他故障占5%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表所示。现计划在刀具加工一定数量的零件后定期更换新刀具。
已知生产工序的费用参数如下：
故障时产出的零件损失费用 f=200元/件；
进行检查的费用t=10元/件；
发现故障进行调节使之恢复正常的平均费用 d=3000元/次（包括刀具费用）；
未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。
（1） 假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的产品为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少个零件检查一次）和刀具更换策略。
（2） 如果该工序正常时产出的产品不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认为有故障仃机产生的费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。
（3） 在(2)的情况下，可否改进检查方式获得更高的效益？
附：100次刀具故障记录（完成的零件个数）
459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 649 697
515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638
699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280
246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645
764 558 378 765 666 763 217 715 310 851

这是一道（好像是1999年）全国大学生数学建模试题，现高分求参考答案或详细解答。解题过程要用到统计软件（例如SPSS）和数学软件（如Mathematic），使用软件的过程（如要编程要把程序写出来）也需要。只要解答得好，悬赏分在1000分内不是问题^_^

Answer 1

问题分析
机床由于连续使用，各组件会由于磨损而损坏，产生工序障碍。若此时继续生产，则零
件中会大量出现不合格产品而造成损失。为减少损失，应按一定的检查间隙对零件进行
检查，若发现不合格品，就对机床进行检修。又由于刀具损坏造成的故障占工序故障中
的95%，故可考虑按一定的策略更换刀具。以上的操作均要花费一定的维护费用，但能有
效的减小废品损失，在这一对矛盾的作用下，必然存在最佳的检查间隔和刀具更换策略
，使维护费用与不合格品损失之和最小。
由已知的100次刀具故障记录，通过 检验，可知两次刀具发生故障前完成的零件数满足
正态分布。由于其它故障仅占工序障碍的5%，它对最佳检查间隙与换刀策略的影响不大
。为简化计算，不妨设其它故障发生时，完成的零件数满足均匀分布，其它故障的发生
与刀具故障的发生相互独立。
定义相邻两次刀具更新的随机过程为一个更新周期 ， 的值为此两次更新过程中机床生
产的零件数。 为更新周期的总费用。则我们的目标为求出最佳的 ， ，使 最小。这可
以通过计算机搜索得到较好的解决方案。通过蒙特卡罗模拟实际工序，对此方案进行检
验，并作一定的调整。
三 数据分析
题目给出了100次刀具故障记录（完成的零件数），比较直接的想法便是对这100个数据
进行数理统计。统计得到结果为均值600，标准差196.63，同时给定显著性水平
，用 检验检验出刀具故障可服从正态分布，记为：
但正态分布的概率密度在 上都有取值，而发生刀具故障时完成的零件数却是正值，对此
解释如下：
由正态分布的 原则，可知刀具故障是完成的零件数在 内的概率为99.7%，落在其它范围
内的概率很小，是0.3%，可认为是小概率事件，在实际中并不发生，这样，便可解释上
述矛盾。
又由均值600可知，平均每生产600个零件就会发生一次刀具事故；题目又告诉了工序故
障中，刀具损坏的故障占95%，其它故障占5%，结合大数定律，可推知其它故障发生时生
产的零件个数的数学期望为600 。
记其它故障发生时生产的零件数的概率密度：
四 参数说明
T：检查间隔； d：发生故障进行调节使恢复正常的平均费用（包括换刀费）3000
元；
k：未发现故障时更换把新刀的费用,1000元 h:误判工序错误而停机造成的1500元损失
。
K0 ：规定的一个刀具更换间隔，是一个常量； f: 生产一个废品的损失200元；
N：K0内包含的检查次数，在用计算机求解中我们认为K0中包含整数个检查次数。
（T，K0以生产的零件数作为衡量时间长度的标志）
五 基本假设
1． 刀具故障与其它故障相互独立；
2． 工作人员检查出不合格品，则应停机检查。
六 模型建立
通过以上的分析，我们得知，本题属于优化问题，需要确定最优的检查间隙 与刀具更换
间隔 ，使花费的期望值最小。即目标函数:
七 模型求解
问题一：假定工序出现故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品
，为该工序设计效益最好的检查间隙和刀具更换策略。
安排工作人员按以下步骤进行检查和刀具更换：
1． 以 个零件为间隙进行检查，若第 次检查查出的零件为不合格品，则转3；否则继续
进行，直到完成 次检查，转2；
2． 更换刀具，转1；
3．进行调节，使之恢复正常。若故障由刀具故障引起，转1，若故障由其它故障引起，
则完成剩余的 次检查，转2。（若检查出不合格品，按3中方法处理），现要求出最佳
和 ，使 最小。
显然，当刀具出现故障使机床生产的零件数大于 时，更新周期 ，当刀具出现故障时机
床生产的零件数小于 时，更新周期 ，由此得出 ：
说明： 为故障发生前生产零件数为概率密度函数
为刀具更换间隙，即 ；
为检查间隙。
为刀具故障发生在第i个检查间隔内的概率 。
其次，近似确定 ，即一个换刀周期内的平均费用，刀具故障与其它故障均会造成维护费
用，故应综合考虑。
1． 考虑刀具故障造成的费用：
同求 的思想一致，我们可以写出由于刀具故障造成的费用的期望值的表达式： 。
说明： 表示刀具故障发生在刀具更替次数为 的平均费用。 表示刀具故障发生在第 个
检查间隙内的概率， 近似表示不合格产品造成的损失。
2． 考虑其它故障造成的费用
由于其它故障占工序故障的比例只有5%，可考虑简化处理，不妨假设在任一更新周期内
，其它故障至多发生一次。
设其它故障发生在第 个检查间隙内，其概率为 。 为其它故障发生前，机床生产零件
数的概率密度函数。
由于其它故障的出现不会影响更新周期，故无论其它故障发生在哪一检查间隙内，检查
费用为 ，维修费用为 。故其它故障造成费用的数学期望为：
；
综合考虑，可给出 的近似表达式。
目标 为双变量 和 的函数，用计算机进行搜索，可求出
取值最小时，K0=450 ,T=18
问题二
如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零
件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认为有故障停机产生的损失费用为15
00元/件。对该工序设计效益最好的检查间隔 和刀具更换间隔 。
为解决此问题，同样需要确定目标函数
首先求 的表达式：
1、 考虑刀具故障造成的损失：
类似于问题一的求解，换刀周期x>k0时，其概率为 ，现在求此情况
下的损失。
由于其它故障在(0,k0)上发生的概率很小，因此在考虑刀具故障时，可认为其它
故障在(0~k0)上不发生。所以在上述刀具故障不发生在(0,k0)的条件下，可看作(0,k0)
内无工序故障发生。费用包括：检查费用、更换刀具费用、机床无故障时生产出2%的不
合格品损失、误判断机床故障而造成的1500元损失，即 。
换刀周期x<k0小时，为求此情况下的损失期望，仍可类似于问题一的求解，把(0
,k0)划分为 段， 是在第i段上发生刀具故障的概率，下面对第i段上发生刀具故障而引
起的损失讨论如下：
（1）发生故障后的检修费d=3000元，
（2）前面 段（近似认为故障在第i段的中间发生）机器虽然正常工作，但有检查费，2
%的不合格品损失及误判机器有故障引起的1500元损失，即
工序流程图
（3） 机床发生故障后，会以0.6的概率生产不合格品，0.4的概率生产合格品，故第i段
末，即第i个检查点，检查出机床坏的概率为0.6，这时损失来自半段中的不合格品损失
，及检查费： ；但还有可能存在第i个检查点检查不出机器故障，要到第i+1个检查点才
能查出故障的情况，概率为0.4*0.6，损失 ；同理还存在直到第i+2个检查点才查出故障
的情况，概率 ，损失 。虽然还可能有i+3,i+4……个检查点才能查出故障的情况，但由
于这些情况的概率 ，故不再考虑。
综上，可写出第i段上的损失期望：
所以 ，综合以上考虑，可得出由于刀具故障引起的损失期望：
2、 考虑其他故障造成的损失：
在1中，我们略去了对其他故障造成的损失的考虑，这是由于其他故障在换刀周期内
发生的概率非常小，这是合理的。但为了模型更完备，我们也近似的引入其他故障的损
失期望。类于问题一的分析，取换刀周期的最大值K0，近似计算出这时的费用期望：
需要指出得失，S2的值与S1比，相对是很小的，它对结果的影响并不显著。
1． 换刀周期的数学期望的确定：
换刀周期的数学期望同样石由刀具故障决定的（检修其他故障并不更换刀具），故
形式同于问题一求解中的 的形式。
用计算机可求出目标函数 达到最小时的k0与T
k0=324，T=39。
问题三：
在问题二的前提下，正确调整检查间隔和换刀间隔，可以减小损耗，也可以通过改进
检查方式来获得更高效益。
损耗可调控的部分为误判产生的停机损失费。分析产生误判原因，废品中经过计算有
95%是正常工序下产生，5%是在故障工序下产生的。但是正常工序下，产生连续两个废品
的概率为0.0004，而在工序不正常情况下，连续两个废品概率为0.36。当出现连续两个
废品时，可认为工序不正常。故由此有改进方案。
1． 检查时零件为正品时检查结束。
2． 检查时零件为废品时，再检查下一个，为废品时，停机检查；为正品时，不停机，
认为工序正常。
此方案虽增加了检查费用，但大大减小了误判而停机的花费。
八 模型分析
为检验不同的h，t，k，f的变化对损失sf的影响，我们分别对它们赋以不同的值，算
出对应的sf值如下表：（sf是生产60000个零件的损失和）
1、h的变化对sf的影响
H(元) 1300 1400 1500 1600 1700
Sf(万元) 59.870 60.216 60.550 60.706 61.013
K0（个） 330 324 324 312 312
T（个） 33 36 36 39 39
N（次） 10 9 9 8 8
m（万元） 1.31
2、t的变化对sf的影响
T(元) 8 9 10 11 12
Sf(万元) 60.200 60.375 60.550 60.553 60.706
K0（个） 324 324 324 312 312
T（个） 36 36 36 39 39
N（次） 9 9 9 8 8
m（万元） 4.10
3、k的变化对sf的影响
K(元) 800 900 1000 1100 1200
Sf(万元) 56.633 58.743 60.550 62.152 63.841
K0（个） 287 304 324 324 340
T（个） 41 38 36 36 34
N（次） 7 8 9 9 10
M（万元） 16.94
4、f的变化对sf的影响
f(元) 100 125 150 175 200 225 250 275 300
sf(万元) 44.116 48.570 52.656 56.468 60.550 64.257 68.057 71.941 75.543
K0（个） 343 344 328 320 324 315 306 310 297
T（个） 49 43 41 40 36 35 34 31 33
N（次） 7 8 8 8 9 9 9 10 9
m（万元） 23.86
为了判别参数 对损失费用函数的 的影响引入相对改变量的评价指标
设
即 改变一个单位相对量（如1%）对损失费用产生的影响。
当改变参数单位相对量时，引起的损失费用越大，则参数的灵敏度越高，对 排序则：
即在对损失费的灵敏度中。
零件损失费>更新刀具费>停机损失费>检查费用。
建议：
为谋求最大经济效益，减少生产损失。
1、 采用最优的检查周期和换刀周期。
2、 尽可能降低零件损失费和换刀具费用就可大幅度减少损失费用。
九 模型检验
我们采用计算机模拟的方法对模型结果进行检验。现简述模拟程序思想如下：
首先根据刀具故障和其它故障的概率分布，产生一系列的样本点，再在一定的范围内不
断地试取检查周期和换刀间隔，模拟实际的生产过程得到一系列的损失费，从中求出最

小值及其对应的检查周期和换刀间隔，作为最优解。
具体程序请见附录4，5。
对问题2进行多次模拟，得到一系列的结果如下：
损失sf（万元） 59.516 59.696 60.129 58.146 60.058 55.478 61.048 59.981 58.80
8 59.720
换刀周期K0 336 368 360 294 234 336 312 294 240 400
检查周期T 48 46 40 42 39 48 39 42 42 40
分析：模拟的结果在[234-400]区间波动是由于：每执行一次，随机的取一组刀具损坏零
件数，由于方差为196.62很大，故波动范围较宽，但仍在 附近，费用函数稳定在58万-
61万之间，而模型得到的解 和 准确的落在以上区域上。模型具有较好的稳定性。
参考文献
朱文予 《机械可靠性设计》 上海交通大学出版社
1992
许仁忠 钟冠国等 《概率论与数理统计》 四川科学技术出版社 1
988
matlab源程序（略）

Answer 2

http://202.114.88.181/File/Excellect%20Paper/Nation/1999A.pdf
再多就找不到了

Answer 3

我老师说他也没看董
我认为你应该和自己圈的同学或老师研究一下

Answer 4

没看懂